Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Знать данную случайную величину — это не значит, конечно, знать ее численное значение, ибо если мы, например, знаем, что конденсатор до пробоя проработал 5324 часа, то тем са^иым уже время его бесперебойной работы приняло определенное численное значение и перестало быть случайной величиной. Что же мы должны знать о случайной величине, для того чтобы иметь всю возможную полноту сведений о ней именно как о случайной реличине? Очевидно, что для этого прежде всего мы должны знать все числен-
г
§ 19] ПОНЯТИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 75
иые значения, которые она способна принимать. Так, I если при испытании электронных ламп на срок службы минимальное время оказалось 2306 часов, а максимальное— 12 108, то срок службы лампы может принимать все значения, заключенные между этими двумя границами. В примере 3) очевидно, что число I метеоритов, достигших земной поверхности в течение года, может иметь своим численным значением любое целое неотрицательное число, т. е. 0, 1, 2, 3 и т. д.
Однако знание лишь одного перечня возможных значений случайной величины не дает о ней еще таких сведений, которые могли бы служить материалом для . практически необходимых оценок. Так, если во втором примере рассмотреть газ при двух разных температурах, то возможные численные значения скоростей молекул для них одни и те же, и, следовательно, перечень этих значений не дает возможности какой-либо сравнительной оценки этих температур.
Между тем, различие температур указывает на весьма существенное различие в состоянии газа — различие, о котором один только перечень возможных значений скоростей молекул не дает нам никакихпред-! ставлений. Если мы хотим оценить температуру данной массы газа,‘а нам дают только список возможных значений скоростей его молекул, то мы, естественно, спрашиваем, как часто наблюдается та или другая скорость. Другими словами, мы, естественно, стремимся узнать вероятности различных возможных значений интересующей нас случайной величины.
§ 19. Понятие закона распределения
Возьмем для начала совсем простой пример. Производится стрельба по мишени, изображенной на | рис. 8; попадание в область / дает стреляющему три очка, в область // — два очка и в область /// — одно очко *).
*) Читатель может возразить, сказав, что за попадание в область III, т. е. за промах, не следует давать и одного очка. Однако, если очко является правом на выстрел, то тот, кто произвел плохой выстрел, тем самым уже получил одно очко.
76 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ [ГЛ. 7
Рассмотрим в качестве случайной величины число очков, выбиваемых при отдельном выстреле; возможными значениями здесь служат числа 1, 2 и 3; обозначим соответственно через рп Pi и Рз вероятности этих трёх значении, так что, например, р3 означает вероятность попадания в область / мишени. В то время как возможные значения нашей случайной величины для всех стрелков одни и те же, вероятности р\, P-г и Рз для различных стрелков могут весьма существенно различаться друг от друга, и очевидно, что этим различием и определяется различие в качестве стрельбы. Так, для очень хорошего стрелка может быть, например, что р3 = 0,8. Ill Pi = 0,2; р, = 0; для среднего стрелка рз = 0,'3; р2=0,5; pi = 0,2; для совсем плохого стрелка р3 = = 0,1; р2 = 0,3; Pi = 0,6.
Если при некоторой стрельбе производится 12 выстрелов, то возможными значениями числа попаданий в каждую из областей /, II и III будут служить все целые числа от 0 до 12 включительно; но сам по себе этот факт еше не дает нам возможности судить о качестве стрельбы; напротив, мы можем составить себе исчерпывающее представление об этом качестве, если, кроме возможных значений числа попаданий. нам таются п вероятности этих значений, т. е. числа, показывающие, как часто среди серий rto 12 выстрелов будет встречаться то или другое число попаданий в ту или иную область.
Ясно, что так будет обстоять дело и во всех случаях; зная вероятности различных возможных значений случайной величины, мы тем самым будем знать, как часто следует ожидать появления более выгодных или менее выгодных ее значений; а этого., очевидно, достаточно для суждения об эффективности или доброкачественности той операции, с которой связана данная случайная величина. Практика показывает, что знания вероятностей всех возможных значений изучаемой случайной величины действительно достаточно
ПОНЯТИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
77
для решения любого вопроса, связанного с оценкой этой случайной величины как показателя доброкачественности соответствующей операции. Итак, мы приходим к выводу, что для полной характеристики той или другой случайной величины, как таковой, необходимо и достаточно знать:
1) перечень всех возможных значений этой случайной величины и
2) вероятность каждого из этих значений.
Отсюда видно, что задавать случайную величину
удобно посредством таблицы из двух строк: верхняя строка содержит в каком-нибудь порядке возможные значения случайной величины, а нижняя — их вероятности, так что под каждым из возможных значений стоит его вероятность. Так, в рассмотренном выше примере число очков, выбиваемых при одном выстреле лучшим из стрелков, может, как случайная величина, быть представлено таблицей
