Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
а = 1 -0,07 + 2-0,16 + 3-0,55 + 4-0,21 +5-0,01=2,93;
20л: = 2,93 • 20 = 58,6 ~ 59.
*
Для того чтобы сборщик имел небольшой запас на случай, если фактический расход деталей превзойдет ожидаемый, практически полезно будет дать ему GO—65 дет г л ей
В рассмотренных примерах мы имеем дело с таким положением вещей, когда для некоторой случайной величины практика требует известной ориентировочной оценки; одним только взглядом на таблицу мы такой оценки дать не можем, — таблица говорит нам
*) Мы будем предполагать прн этом, что деталь, забракованная при сборке одного прибора, уже не используется прн сборке других.
I 20] СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
85
только, что наша случайная величина может принимать такие-то значения с такими-то вероятностями. Но вычисленное по этой таблице среднее значение случайной величины уже способно дать такую оценку, ибо это именно то значение, которое в среднем будет принимать наша величина при более или менее продолжительном ряде операций. Мы видим, что с практической стороны среднее значение особенно хорошо характеризует случайную величину, когда речь идет
об операции массовой или многократно повторяемой.
Задача 1. Производится ряд испытаний с одной и той же вероятностью р появления некоторого события А, причем результаты отдельных испытании между собой независимы. Найти среднее значение числа появлений события А в серии из п испытаний.
Число появлении события А в серии из п испытаний есть случайная величина с возможными значениями 0, 1, 2, п, причем вероятность значения k равна, как мы знаем,
Поэтому искомое среднее значение равно
ilkPnm.
к= 1
Эту сумму мы вычислили при доказательстве теоремы Бернулли (стр. 68) и видели что она равна пр. В свое время мы убедились, что наивероятнейшее число появлений события А при п испытаниях в случае большого п близко к пр\ теперь -мы видим, что среднее число появлений события А при любом п в точности равно пр.
Таким образом, в данном случае наивероятпейшее значение случайной величины совпадает с ее средним значением; надо, однако, остерегаться думать, будто это совпадение имеет место для любых случайных величин; вообще говоря, наивероятнейшёе значение случайной величины может очень далеко отстоять от ее
86
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
V
[ГЛ 8
среднего значения. Так, например, для случайной величины с законом распределения
0 5 | 10 .
0,7 0,1 0,2
наивероятнейшее значение есть 0, а среднее значение — 2,5.
Задача 2. Производятся независимые испытания, в каждом из которых © вероятностью 0,8 может произойти некоторое событие А. Испытания производятся до первого появления события Л; общее число испытаний не превосходит четырех. Определить среднее число произведенных испытаний.
Число испытаний, которое придется произвести, по условиям задачи может равняться 1, 2, 3 или 4. Мы должны вычислить вероятности каждого из этих четырех значений. Для того чтобы потребовалось произвести только одно испытание, надо, чтобы уже при первом испытании появилось событие Л. Вероятность этого равна
*Pi ~ 0,8.
Для того чтобы потребовалось произвести два испытания, надо, чтобы при первом испытании событие Л не появилось, а при втором — произошло. Вероятность этого по теореме умножения вероятностен для независимых событий равна
р2 = (I — 0,8) - 0,8 = 0,16.
Для того чтобы потребовалось три испытания, надо, чтобы в первых двух событие Л не появилось, а при третьем оно произошло.
Поэтому
р3 = (1 - 0,8)2 • 0,8 = 0,032.
Наконец, потребность в четырех испытаниях возникнет при условии, что три первых испытания не приведут к появлению события А (независимо от того, что даст четвертое испытание), поэтому • р4 = (1-0,8)3 = 0,008. -
5 201 СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СЛУЧАПНОП ВЕЛИЧИНЫ 87
Таким образом, число производимых испытаний, как случайная величина, определяется законом распределения _
1 2 3 4
0,8 0,16 0,032 0,008
Среднее значение этого числа равно поэтому
1 -0,8 + 2 - 0,16 + 3 - 0,032 + 4 - 0,008 = 1,248.
Если, например, предстоит сделать 100 подобных наблюдений, то можно рассчитывать, что при этом придется произвести примерно 1,248- 100 г« 125 испытаний.
В практике с подобной постановкой задачи приходится встречаться часто. Для примера, мы испытываем пряжу на крепость и относим ее к высшему сорту, если она не рвется ни разу при нагрузке Р, когда испытываются образцы стандартной длины из одного и того же мотка (или партии). Испытывается каждый раз не более четырех образцов.
Задача 3. Некоторая площадка имеет форму квадрата, сторона которого по данным аэрофотометриче-* ских измерений равна 350 м. Качество аэрофотосъемки определяется тем, что ошибка в
