Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для первых условий эксперимента п = 60, р — 0,7, пр — (1 — р) = 41,7, k0 = 42.
Для вторых условий эксперимента п = 50, р = 0,8, пр — (1 — р) = 39,8, k0 = 40.
Мы видим, что вероятнейшее число «быстрых» частиц в первых условиях эксперимента несколько больше.
В практике часто встречаются положения, когда число п весьма велико (массовая стрельба, массовое производство изделий и т. п.). В этом случае и про-
60
СХЕМА БЕРНУЛЛИ
[ГЛ. 5
изведение пр будет очень большим числом (если только вероятность р не чрезвычайно мала). А так как в выражениях пр—(1—р) и пр + р, между которыми заключено наивероятнейшее число появлений события, вторые члены (т. е. р и 1 — р) меньше единицы, то оба эти числа, а значит и заключенное между ними наивероятнейшее число появлений события, близки к пр. Так, если вероятность соединения абонентов за срок, меньший 15 сек., равна 0,74, то мы можем принять 1000-0,74 за вероятнейшее число соединений абонентов за срок, меньший 15 сек., из каждой тысячи вызовов, поступающих на телефонную станцию.
Этому выводу можно придать еще более точную форму. Если k0 означает нанвероятнейшее число появлений события при п испытаниях, то kjn есть наивероятнейшая «доля» появлений события при тех же п испытаниях; неравенства (7) дают нам:
Представим себе, что мы, оставляя вероятность р появления события для отдельного испытания неизменной, будем увеличивать все более и более число испытаний п (при этом, конечно, будет увеличиваться и наивероятнейшее число появлений k0). Дроби (1—р)/п и р/п, стоящие в левой и правой частях последних неравенств, будет становиться все меньше и меньше; значит, при больших п этими дробями можно пренебречь, т. е. можно считать левую и правую части неравенств, а значит и дробь k0/n, равными р. Таким образом, наивероятнейшая доля появлений события при большом числе испытаний практически равна вероятности появления события при отдельном испытании.
Так, если при некоторых измерениях вероятность совершить в отдельном измерении ошибку, заключенную между аир, равна 0,84, то при большом числе измерений с наибольшей вероятностью можно ожидать примерно в 84% случаев ошибок, заключенных между а и р. Это не значит, конечно, что вероятность
§ 15] НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО НАСТУПЛЕНИЙ СОБЫТИЕ 61
получить ровно 84% таких ошибок будет велика; напротив, сама эта «наибольшая вероятность» при большом числе измерений будет очень малой (так, мы видели в схеме рис. 5, что наибольшая вероятность оказалась равной 0,196, причем там речь шла всего о 15 испытаниях; при большем числе испытаний она значительно меньше). Эта вероятность является наибольшей только в сравнительном смысле: вероятность получить 84% измерений с ошибками,- заключенными между а и ft, больше, чем вероятность получить 83% или 86% таких измерений.
С другой стороны, легко понять, что при длинных сериях измерений вероятность того или иного отдельного числа ошибок данной величины не может представлять значительного интереса. Если мы, например, производим 200 измерений, то вряд ли целесообразно вычислять вероятность того, что ровно 137 из них будут измерены с заданной точностью, так как практически безразлично, будет это число равно 137, 136 или 138 и даже хотя бы 140. Напротив, вопрос, например, о вероятности того, что число измерений, для которых ошибка заключена в данных границах, будет более 100 из 200 произведенных измерений, или что это число будет заключено между 100 и 125, или что оно окажется меньшим 50 и т. д., представляет несомненный интерес для практики. Как выразить такого рода вероятности? Пусть мы хотим, например, найти вероятность того, что число измерений будет заключено между 100 и 120 (включая 120); точнее, будем искать вероятность неравенств
100 </г < 120,
где k — число попаданий. Для того чтобы осуществились эти неравенства, нужно, чтобы k оказалось равным одному из двадцати чисел 101, 102, ..., 120; по правилу сложения эта вероятность равна
Р(100<6<120) =
= ^200(Ю1) + Р200(Ш2) + . .. + Р200(120);
для непосредственного вычисления этой суммы нам
62
СХЕМА БЕРНУЛЛИ
[ГЛ. 8
пришлось бы предварительно вычислить 20 отдельных вероятностей типа Рп (/г) по формуле (3); при столь больших числах подобные вычисления представляют непреодолимые трудности; поэтому суммы получен-ного нами вида па практике никогда не вычисляют непосредственно. Для этого существуют удобные приближенные формулы и таблицы. Составление этих формул и таблиц основано на сложных приемах математического анализа, которых мы здесь касаться не будем, однако можно простыми рассуждениями и о вероятностях типа Р (100 < k 120) получить сведения, во многих случаях приводящие к исчерпывающему решению поставленных задач. Об этом мы будем говорить в следующей главе.
ГЛАВА' ШЕСТАЯ ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
§ 16. Содержание теоремы Бернулли
Вглядимся еще раз в диаграмму на рис. 5 (стр. 58), где вероятности различных значений числа k — появлений рассматриваемого события — числа Р\ь(к) изображены вертикальными черточками. Вероятность, приходящаяся на какой-нибудь .участок значений k, г. е. вероятность того, что число появлений интересую^ щего нас события окажется равным какому-нибудь из чисел этого участка, по правилу сложения равна сумме вероятностей всех чисел этого участка, т. е. равна сумме длин всех вертикальных черточек, расположенных над этим участком. Чертеж наглядно показывает, что эта сумма для различных участков одной и той же длины весьма различна. Так, участки 2^С?<5 и 7 ^ k < 10 имеют одинаковую длину; вероятность каждого из них выражается суммой длин трех вертикальных черточек, и мы видим, что для второго участка сумма эта значительно больше, чем для первого. Мы уже знаем, что диаграммы вероятностей Pn(k) для всех п имеют такой же, в основном, вид, что и диаграмма на рис. 5, т. е. величина Рп (k) с ростом k сначала возрастает, а потом, после прохождения через свое наибольшее значение, убывает; поэтому ясно, что из двух участков значений числа k, имеющих одинаковую длину, во всех случаях большую вероятность будет иметь тот, который расположен ближе к наивероятнейшему значению k&. В частности, на участок, имеющий серединой число ke, всегда будет прихо-.
