Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
откуда по определению положительности (3.3.1) либо ?2+= 0, либо
?2- = 0.
Поэтому мы можем взять ?2^0. Если || 0 || ф 0 и 0 ^ 0, то
из (3.3.1) следует,
что
0 < <0, ЛЙ> = Я<0, ?2).
Так как 0 выбрано произвольно, то почти всюду ?2 >• 0.
Наконец, если \|з и ?2 - два линейно независимых собственных вектора Л с
собственным значением X, то, повторяя предыдущие рассуждения для
компоненты 1|з, ортогональной ?2, получим, что существуют два строго
положительных ортогональных вектора, а это невозможно. Следовательно, X
имеет кратность 1 и вакуумный вектор единствен. |
Для того чтобы применять доказанную теорему к гамильтонианам квантовой
механики, мы воспользуемся представлением Фейнмана - Каца из § 3.2 и
сформулируем достаточное условие строгой положительности ядра оператора
ertH.
Теорема 3.3.3. Пусть V - непрерывная ограниченная снизу функция, а Н - Н0
+ V - существенно-самосопряженный оператор. Тогда
( m \
0 < (ядрое-*я)(<7, q')= ( ехр( - ( V (q (s)) ds I dWq4'. (3.3.4)
' -t/2 '
Доказательство. Пусть M(R) = sup{K(<?): a I(R)-значение меры
Винера q, для множества 7P(R) траекторий q(s), для которых
sup{|<7(s)|: -</2 ^ s ^ t/2} ^ R. Тогда
(ядро e~tH)(q, q')>e~M{R)t dW^ q. > 7 (R) e~M <*> 4.
У'Ш
Так как /(#)-> 1 при R-*- оо, то I(R) отлично от нуля при достаточно
больших R. |
Следствие 3.3.4. Пусть Н удовлетворяет условиям теоремы 3.3.3. Тогда все
его нормированные основные состояния ?2 отличаются друг от друга
фазовым множителем еш, где 0 - вещественное
число, и ровно одно из них может быть выбрано строго
положи-
тельным.
Замечание. В этой теореме и ее следствии меру dW\, ? можно заменить мерой
Орнштейна - Уленбека dV\t Ч'.
70 Гл. 3. Формула Фейнмана - Каца
3.4 Перенормированная формула Фейнмана - Каца
Теперь мы вернемся ко второму обобщению формулы (3.2.5), а именно к
"перенормированной" формуле Фейнмана - Каца. Для Н = Н о + У,
Яо = -тД + Т<72-Т
и непрерывной функции V определим "переномированный" гамильтониан,
полагая
Й = Н - Е0. (3.4.1)
Предположим, что Н существенно-самосопряжен и его основным состоянием
является Q; тогда константа Е0 выбирается так, чтобы HQ ~ 0. По теоремам
3.3.2 и 3.3.3 Q единствен и <0, йо> Ф 0. Используя спектральное
представление для Н
,-"-5 e-ildE(X),
получим, что
Q(Q, Q0}= lim e-tf,Qo. (3.4.2)
/ -> оо
Посмотрим теперь, что означает равенство (3.4.2) в терминах
функционального интегрирования. Для этого определим вероятностную меру
( 112 \
d\it - ZJl&\р(- ^ V (q (s)) ds j dqp0> (3.4.3)
' -t/2 '
где мера d(p0 определена в (3.2.9), а нормирующий множитель Z< дается
формулой
( t/2 \
Z*=^expl- jj V (q(s))ds ld<p0. (3.4.4)
^ - f/2 '
Согласно формуле Фейнмана - Каца, для любых моментов времени -
t/2<.tl^Lt2^ ... *S^tn<.t/2 и любого набора ограниченных функций Ai имеем
Aie-^HA2...Ane^-^HQa) Г ТТ .
||е -ftf/2Qj2
(3.4.5)
В силу (3.4.2) левая часть этого равенства сходится при t-*-
оо,
а возникающие в пределе множители |<йо, й)|2 в числителе и
знаменателе сокращаются. Таким образом, установлена
3.4 Перенормированная формула Фейнмана - Каца 71
Теорема 3.4.1. Пусть Н удовлетворяет приведенным выше предположениям.
Тогда
<Q, ... Л"?2> =
П
= Пш Ш Л, (<7(/,))<*ц, (?(¦))• (3.4.6)
<-+о° J f-L
1 = 1
Теперь мы можем переформулировать этот результат, вводя некоторую счетно-
аддитивную меру d\i в пространстве 3)'(R1) вещественных обобщенных
функций1) на прямой. Предел при /-*- оо, определяемый формулой (3.4.6),
можно рассмотреть для всех моментов меры dya, а также для ее
преобразования Фурье. Определим (обратное) преобразование Фурье S<{/}
меры Ьщ формулой
S<№=$e,,(f)dn<, fc=3)(R'). (3.4.7)
Функция Si{/} отображает 3) в поле скаляров С, т. е. является
функционалом на пространстве 3). Иногда его называют порождающим или
характеристическим функционалом меры d\it- Легко убедиться в том, что
St{f} обладает следующими тремя свойствами:
(1) Непрерывность-. ?;{/"} -*-St{f} при fn~^f в ЗЬ (т. е. fn->f и Dlfn-
*-Dif равномерно на компактных множествах).
N
(2) Положительная определенность-. ? dCjSt {fi - f,} > 0 для
t, /=i
любых последовательностей fi^.35, Cie С, г = 1, 2, ..., N.
(3) Нормировка: S<{0} = 1.
N
Заметим, что если положить A (q) = ? Cj exp [iq (ft)], то свойство
=1
(2) эквивалентно неравенству ^ | Л ^ 0, т. е. положительности меры [it.
Обратно, любой функционал S{/}, удовлетворяющий условиям (1)-(3), всегда
является преобразованием Фурье некоторой вероятностной меры на 3)'. Таким
образом, свойства (1) - (3), которые наследуются и предельным
функционалом S{/}= limS^/},
ОО
позволяют убедиться в существовании меры, порождаемой функционалом S{/}.
Мы сформулируем соответствующий результат для Rd.
*) Обобщенной функцией называется непрерывный линейный функционал на
пространстве функций класса С" с компактным носителем. Формально можно
написать q(f) = / q(t)f(t)dt, ?g(r)', f s 25. Сходимость в St) определяется
как Равномерная сходимость всех производных Daf на компактных
