Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
доказана для всех Л, состоящих из п - 1 точек. Введем обозначение
1 = (?. in). 1 = Si, • ¦ •. In-1,
н аналогично представим %. Перепишем левую часть неравенства (4.4.3) в
виде повторного интеграла и покажем, что при всех значениях %п, %п
интеграл по d% неотрицателен. Точнее, пусть
Z (а) = (6 (?"-(*)), (F\n^a = Z(a)-l{b{ln-a)F{l)) (4.4.4)
и (• )t v -v ~ (' Xtv ~ аналогичное среднее по переменным ?, %. В силу
нормировки (4,4.4) справедливо тождество
( IF (I) - F (X)] [О (S) ~ G (х)] >aY = <^>а + (FG)y - (F)a <G)y - (F)y
<G)a =
"= KFG)a - (F)a <G)a] + [(FG)y - (F)v <G)V] + [<F)a - <^>Y] [<0)a -
<<?>,]. (4.4.5)
Покажем, что выражение (4.4.5) неотрицательно. Первые два члена
неотрицательны по предположению индукции, следовательно, достаточно
проверить, что сомножители, составляющие третий член, имеют одинаковый
знак. Воспользуемся зависимостью 1 от а (см. (4.4.4)) и определениями
(2.3.3-4); получим, что
Пх = Р Z { <(h ~ ") F (r))а -<h- ")а (?)>а } + (l^)a '
I
где суммирование проводится по ближайшим соседям п-й точки. Заметим, что
члены, пропорциональные Р'(?п), сокращаются. Поскольку линейная функция
*) Неравенство Фортуэна, Кастелена, Жинибра.-Прим. перев.
4.5 Теорема Ли- Янга 83
?->-?; - а монотонна, вновь применимо индуктивное предположение, и,
следовательно, </•"> а есть монотонно возрастающая функция от а. То же
самое верно и для <G)a, поэтому третий член в (4.4.5) неотрицателен. |
4.5 Теорема Ли-Янга
Термодинамические функции, такие, как свободная энергия, давление и т.
д., являются, вообще говоря, кусочно-аналитическими функциями. Границами
областей аналитичности служат поверхности фазовых переходов. Вдоль этих
поверхностей сами термодинамические функции или их производные испытывают
разрывы. В некоторых случаях можно доказать отсутствие фазовых переходов
при ненулевом магнитном поле h (т. е. при ненулевом линейном
взаимодействии в гамильтониане). Одним из результатов такого типа
является теорема Ли - Янга, в которой утверждается аналитичность по h при
Re/z^O, или, в терминах активности г - ен, при \г\Ф 1.
Рассмотрим систему с гамильтонианом Н, у которой распределение отдельного
спина имеет вид d\ii (?) = е_р<(?) где
Pi &) = а$ + Н (5) = - 2 Ji,U, - ? Mr (4-5.1)
/ 1
Здесь а/> 0, Jij ^ О, Ь/ - вещественные числа. Теорема Ли - Янга
показывает, что при Re/2;=7^0 в этой системе нет фазовых переходов.
Свободная энергия / определяется соотношением
/ = /л = (l/|A|)lnZA, (4.5.2)
где Z а -статистическая сумма
({А,}) = J е-""> Лц (g) = J Д е~р' (5f) dg,. (4.5.3)
i i= Л
В конечном объеме Л функция Za, с очевидностью, аналитична по переменным
hi. Поэтому /л - аналитическая функция от /г,- в любой области, не
содержащей нулей функции Za-
Теорема 4.5.1. Пусть имеется система (4.5.1) с ферромагнитным парным
взаимодействием
Jii ^ 0, (4.5.4)
и пусть hi = h. Тогда если Re /г О, то ZаФО.
Замечание. Доказательство этой теоремы, приведенное в работе
[Simon, Griffits, 1973], довольно запутано; сначала
доказывается
теорема Ли-Янга для модели Изинга, а затем распределение е~р(Ъ)й%>
приближается с помощью суперпозиций моделей Изинга. Мы приведем более
простое доказательство, принадлежащее Дан-л°пу [Dunlop, 1977]. Отсутствие
нулей у Za доказывается при этом
84 Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли - Янга
в меньшей области j ImA,| ^ Re Л,-, однако в ходе доказательства удается
получить оценку снизу для |Za|.
Теорема 4.5.1'. Рассмотрим систему (4.5.1) с ферромагнитным парным
взаимодействием (4.5.4). Пусть |1гпЛ, |^ ReA,- при всех /еЛ. Тогда
О < Zл (Ы = 0)< ZA(ReА, - |ImЛ,-1)< |ZA (hi) |. (4.5.5)
Замечание 1. В силу равенства Z\(h) = Z^(-А), в отраженном секторе
|ImAi|^-ReA,-, /еЛ, выполняются неравенства
Z а (Ы = 0)< ZA (-Re А; -11ш А,-1) ?? | Z a (A,) |. (4.5.6)
Замечание 2. Для большинства приложений достаточно рассматривать случай
hi = Л (т. е. пространственно-однородное магнитное поле).
Для доказательства теоремы нам понадобится понятие положительно
определенной функции f(Q), 0е пусть f(Q) раз-
лагается в ряд Фурье
ОО N
f(0) = (2я)-Л,/2 I fneln\ nQ^Znfr. (4.5.7)
П = - оо / =* 1
Определение 4.5.2. Функция f называется положительно определенной, если
все ее коэффициенты Фурье неотрицательны, fn ^ 0. Обозначим через &
множество положительно определенных функций f. & определяет естественный
порядок: f ^ g, если g - /eiP, т. е. fn ^ gn при всех п.
Предложение 4.5.3. Множество замкнуто относительно операций сложения и
умножения функций, а также комплексного сопряжения, умножения на
положительную константу и взятия экспоненты. Иными словами, & есть
мультипликативный выпуклый конус. Перечисленные операции сохраняют
порядок, определяемый $Р.
Доказательство. Сложение и комплексное сопряжение, очевидно, не выводят
из 9'. Умножение задается сверткой коэффициентов Фурье и, следовательно,
сохраняет их положительность. Разложив экспоненту в ряд, убеждаемся, что
взятие экспоненты также не выводит из 9>. |
