Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
3.1 Мера Винера 61
комплексной мере elJll[^dq(s) не удалось придать удовлетворительного
математического смысла1), и по этой причине формула Фейнмана не играла
значительной роли в математически строгих исследованиях по квантовой
механике.
Аналогичным представлением ядра оператора e~tH как интеграла по
пространству траекторий является формула Фейимана - Каца. В этом случае
мера в пространстве траекторий положительна и, как мы сейчас увидим,
допускает строгое математическое обоснование. Так как e~tH получается из
е~ии аналитическим продолжением по t, при котором t переходит в -it, это
наводит на мысль сделать такое же аналитическое продолжение в формуле
(3.1.3). При помощи подстановки
ds-i---ids, q2 = (dq/ds)2 -э----q2
приходим к формальному выражению
(ядро e-'H)(q, q') =
( т \
= jj exp ( - jj q (s)2 + V {q (s))] ds j Д dq(s). (3.1.5)
4'. 0 ' -f/2 ' -i/2<s<t/2
Сначала рассмотрим случай V = 0, т. е.
Н = Н0 = ±р2. (3.1.6)
Этот частный случай приводит к определению условной меры Винера на
множестве Jf{q, q', t) непрерывных траекторий q(s), заданных на отрезке
[-1/2, t/2] и соединяющих q и q'. Для простоты все формулы будут написаны
для трехмерного случая.
Ядро 7, q) оператора e~tHa является фундаментальным
решением уравнения теплопроводности
¦^-"(<7, t) = Н0и - - Аи (q, t), (3.1.7)
з
где A-J]d2fdq2. Поэтому, если задано начальное условие
u(q, 0) = f{q), то решение (3.1.7) представляется в виде
u(q, t) = (e-tH°f)(q)= ^^(q, q')f(q')dq'. (3.1.8)
Ядром оператора e~tH> является хорошо известная гауссова плотность
(2nt)~3l2e~<'4~4'),/2t - Ж\(q, q'), (3.1.9)
*) Тем не менее существует немало математических работ, посвященных
корректному построению фейнманова интеграла (см. обзор Ю. Л. Далецкого:
Интегрирование в функциональных пространствах. - Сер. Итоги науки.
Математический анализ. - ВИНИТИ, 1967). - Прим. ред.
62 Гл. 3. Формула Фейнмана - Каца
представляющая собой преобразование Фурье функции е~Р'112. Вот его
основные свойства:
0) x°t(q, q')> 0;
(ii) X°{q, q')dq'= 1;
(iii) X°t+S(q, q')=\X°i(q, r)X°s(r, q')dr.
Свойства (i), (ii) позволяют интерпретировать №\(q, q') как плотность
распределения вероятностей, a (iii) отвечает полугруп-
qis)
Рис. 3.1. Пример двух траекторий q(s) е W(q, q',t), удовлетворяющих
условию q{ti) <=h.
повому свойству e~V+s)Hb - e~tH> • e~sHa. Свойства (i) - (iii) ядра X){q,
q') дают возможность определить на W(q, q', t) условную меру Винера
("условие" заключается в том, что оба конца траектории фиксированы, в то
время как в случае обычной меры Винера фиксируется лишь начало
траектории). Полную меру множества W{q, q , t) положим равной X'°t{q,
q'), а меру множества
{q(s)<=W(q, q', t): q(U)<=h)
траекторий, попадающих в момент времени t\, -1/2 ^ t\ ^ t/2,
в подмножество /[CzR3, определим выражением
2)+uiq> qi)^bi2)-tXqu q')dq\. (3.1.10)
h
Это множество траекторий изображено на рис. 3.1. Заметим, что определение
(3.1.10) корректно в силу свойства (iii), так как если мы возьмем в нем
Ii - R3, то (3.1.10) совпадает с 3C\{q, q') - полной мерой W(q, q\ t).
В общем случае рассмотрим подмножество траекторий в W(q, q', t), точки
которых в п фиксированных последовательных
3.1 Мера Винера 63
моментов времени tj принадлежат борелевским множествам J/czR3. Здесь / =
1, 2, .,., п и -t/2 < t\ < t2 < ... <tn< t/2. Такие подмножества в W(q,
q', t), т. e. подмножества
{q(s): q(-t/2)= q, q{t/2) = q', q(tj)f=Ih /= 1, 2, n}, (3.1.11)
называются цилиндрическими множествами, а мера множества
(3.1.11) определяется выражением
J dql J dq2 ... J dqnX°ti + m(q> )Х°и-и (Чи <fe) .. • Х°тq) = Л l2 ln
П+1
='\dql ... J dqn JJ[2n(f, - (3.1.12)
Л >=1
где -V2. <7o = q, t"+1 = f/2, 7n+i s q'.
Сформулируем без доказательства основную теорему о существовании меры
Винера.
Теорема 3.1.1. Условная мера Винера (3.1.12) счетно-аддитивна на
цилиндрических подмножествах пространства W(q, q', t) и имеет
единственное продолжение на а-алгебру борелевских подмножеств W{q, q',
ty).
Пусть dWlq, Ч' обозначает интегрирование по условной мере Винера. Заменяя
в формуле (3.1.12) характеристические функции %/ интервалов //
произвольными ступенчатыми функциями Л/, мы с помощью предельного
перехода и определения (3.1.8) ядра Ж получаем
Следствие 3.1.2. Пусть Л,-- оператор умножения на ограниченную
функцию Ai(q), действующий в L2(q, dq), г ===== 1, 2....п\ -t/2
^ t\ ^ ... ^ tn ^ t/2. Тогда
П
\JlAi(q(ti))dWtq,q- = i-1
=(ядро(е~<',+№>/Ч41в~<'*-<1)/Ч42 ... /). (3.1.13)
В частном случае, когда все функции Л;- тождественные единицы, (3.1.13)
превращается в формулу
\dW<qq, = (ядро e~t"°)(q, q')=W>(q, q'). (3.1 Л4)
Мы закончим этот параграф замечанием о том, что на формальном Уровне
приведенные здесь определения согласуются с выражением
*) Топология в W{q,q',t) индуцируется топологией равномерной сходимости в
пространстве непрерывных траекторий на отрезке [-t/2, t/2], - Прим. ред.
64 Гл. 3. Формула Фейнмана - Каца
(3.1.5) в случае V = 0. Действительно, e~iH° = (e~tH°!'l)n, поэтому,
