Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Формули{:овка аксиом 1—111 взята из настоящего издания.
НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 231
И4. Пусть А, В, С—три точки, не лежащие на одной прямой, и а — прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С; если при атом прямая а проходит через одну из точек отрезка АВ, то она должна пройти через одну из точек отрезка ВС или через одну из точек отрезка АС.
III. Аксиомы конгруентности.
Определение. Любая прямая разбивается каждой своей точкой на два луча, называемых также полупрямыми.
111,. Если А и В суть две точки прямой а, и А' является точкой прямой а', то на каждом из двух лучей прямой а', определённом точкой А', можно найти точку В’, такую, чтобы отрезки АВ и А'В' оказались конгруентными, или, другими словами, равными. Это соотношение отрезков обозначается следующим образом:
АВ~А'В'.
1Н2. Если отрезок А’В' и отрезок А"В" конгруентны одному и тому же отрезку АВ, то отрезок А'В' конгруентен также и отрезку А"В".
1113. Пусть АВ и ВС суть два отрезка прямой а, не имеющие ни одной общей внутренней точки, и пусть, далее, А'В’ и В'С суть два отрезка той же прямой или другой прямой а', также не имеющие общей точки; если при этом АВ = А'В' и ВС=В’С', то и АС=А'С.
Определение. Пару лучей h и k, исходящих из точки А и не образующих совместно прямой, мы называем углом и обозначаем его так:
ЗС (Л, k) или ЗС (At, К).
Далее, иа основании аксиом II, можно определить сторону плоскости относительно некоторой прямой; точки плоскости, лежащие относительно h по ту же сторону, что и луч k, и относительно k по ту же сторону, что и луч h, называются внутренними точками угла ЗС(А, k); они образуют внутренность данного угла.
232 ДОБАВЛЕНИЕ in
Ш4. Пусть даны угол (h, k), прямая а' и пусть задана определённая сторона прямой а'. Пусть h' означает луч прямой а', исходящей из точки О'; в таком случае существует один и только один луч Я, обладающий следующим свойством: угол <? (h, k) конгруен-тен, или, другими словами, равен углу <? (h\ k’) и вместе с тем все внутренние точки угла (h\ k') находятся относительно прямой d, по данную сторону от прямой а'. Конгруентность угла -gC(h,k) углу -5С(Л', At') обозначается так:
ЗС(Л. k) = ^(h',k').
Каждый угол конгруентен самому себе, т. е. всегда
1Н6. Если для двух треугольников ABC и А’В'С имеют место конгруентности
АВч=А'В', АС==А’СГ и ^ВАС—^'В’А'С, то имеет место также и конгруентность -§С ABC ~ -§С А’В'С'.
Из аксиом I — III легко вывести теоремы о конгруентности треугольников и о равнобедренном треугольнике, а также убедиться в возможности опустить и восставить перпендикуляр и разделить пополам заданный отрезок или заданный угол. В частности, так же как и у Евклида, из этих аксиом следует, что в каждом треугольнике сумма двух сторон больше третьей.
IV. Аксиома о пересекающихся и не пересекающихся прямых.
Мы формулируем следующим образом аксиому, которая в геометрии Больяи-Лобачевского соответствует аксиоме о параллельных в геометрии Евклида:
IV. Пусть Ъ — произвольная прямая, а А —не лежащая на ней точка: тогда всегда существуют два луча аЛ и а2, проходящие через точку А и не образую-
НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ ВО 1ЬЯИ- 10БАЧЕВСК0Г0 233
щие одной прямой, которые не пересекают прямую b и обладают следующим свойством: всякий луч, лежа> щий внутри угла, образованного аЛ и а^, и исходящий из тонки А, пересекает прямую Ь [черт. 91).
Определение. Пусть прямая Ь разбивается некоторой точкой В на два луча й, и Ьг, и пусть лучи al,bi лежат по одну сторону пря- \
мой АВ, а лучи а2, Ьг — по другую её сторону; в таком случае мы будем говорить,
что луч я, параллелен лучу ------к---------__________Ь._
Ьх и, аналогично, что луч аг '
параллелен лучу Ь2\ точно \
так же мы будем говорить, Черт. 91.
что оба луча а, и а2 параллельны прямой b и что прямые, лучами которых являются полупрямые ах и а2, параллельны прямой Ь.
Отсюда немедленно следует справедливость следующих положений.
Если какая-либо прямая (или луч) параллельна другой
прямой (или лучу), то и эта вторая прямая (луч) парал-
лельна первой *).
Если два луча параллельны третьему, то они параллельны друг другу.
Определение. Каждый луч определяет конец, о всех параллельных друг другу лучах мы говорим, что они определяют один н тот же конец. Луч, исходящий из точки А
и имеющий конек а, обозначается вообще так: (А, а).
Прямая имеет всегда два конца. Вообще прямая, концы которой суть аир, обозначается так: (а, р).
Если две пары точек А, В и А', В' и два конца а и а' обладают следующими свойствами: отрезки АВ и А’В' равны друг другу и угол, образованный отрезком АВ и лучом (4, а), равен углу, образованному отрезком А’В’ и лучом (Л\ а'), то, как легко убедиться, угол, образованный
