Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
^а^Ь^а— $Ь’'
Предположим, наконец, в-третьих, что прямая с попала внутрь той области плоскости, которая расположена между прямыми а и Ь. В таком случае, в силу первой части этого доказательства, наверное, существует прямая d', для которой справедлива формула:
Обозначим через d отображение прямой d' относитель. но а; тогда, в силу второй части этого доказательства,
S aS aS CS а — SaSd'Sa— Sj, и тем самым лемма 5 полностью доказана.
§ 2. Сложение концов
Мы будем исходить нз некоторой фиксированной прямой и обозначим её концы через 0 и оо. На этой прямой (0, оо) выберем некоторую точку О и проведём через неб перпендикуляр; концы этого перпендикуляра обозначим через -|“1 и —
НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 241
Черт. 95.
Определим теперь сумму двух концов следующим образом [черт. 95]:
Определение. Пусть а и р — два каких-либо отличных от ос конца; пусть, далее, 0„ является зеркальным отображением точки О 0
относительно прямой (а, оо), a Op — зеркальным отображением точки О относительно прямой (р, оо); соединим середину М отрезка ОаОр с концом оо; другой конец построенной таким образом прямой мы будем называть суммой концов а и (J и будем обозначать через a f- р. '
Зеркально отобразим луч с концом а относительно прямой (0, оо); конец полученного Таким образом луча мы будем обозначать через — а.
Легко убедиться в справедливости равенств.
а —0 = а,
!+(-!) = О, а -f- (—а) = О,
Последнее равенство показывает, что сложение концов подчинено коммутативному закону.
Чтобы доказать справедливость ассоциативного закона для сложения концов, обозначим зеркальные отображения относительно прямых (0, оо), (а, оо), (р, оо) соответственно через 50, Sa, согласно лемме 5 § 1, наверное существует прямая (и, оо), такая, что для зеркального отображения 5, относительно неё справедлива формула:
16 Д. Гильберт
242
ДОБАВЛЕНИЕ III
Так как при операции 5р505а точка Оа переходит в точку Од, то точка Од должна служить зеркальным отображением Оа в прямой (а, оо) и, следовательно, <J = а-\-15, т. е.
^а+з= 5э505о.
Пусть у также обозначает некоторый конец; повторное применение только что полученной формулы даёт:
^« + (3 + т)= + VoW„,
•^(а + 3) +т “ = S^SqSqSqSj
следовательно,
•^а+<з+т)= ^(«+з)+т
и тем самым
a+(P + Y) = (a+?) + Y-
Выведенная нами формула
•^a+з== ^З^О^а
показывает, вместе с тем, что принятое иами построение суммы двух концов не зависит от выбора точки О на прямой (0, оо). Если обозначить через О' некоторую отличную от О точку прямой (0, со) и через О' и О? — зеркальные отображения этой точки относительно прямых (а, оо) и (j}, оо), то перпендикуляром к отрезку О'Опроходящим через середину этого отрезка, опять-таки будет служить прямая (а-}-р, 0).
Мы докажем здесь ещё одно положение, которое понадобится при наших рассуждениях в § 4.
Если прямую (а, со) зеркально отобразить относительно прямой (Р, оо), то получится прямая (2р— а, оо).
Действительно, пусть' Р — некоторая точка прямой, получающейся из прямой (а, оо) при её зеркальном отображении относительно прямой (р, со); эта точка Р, очевидно, останется на месте после того, как мы последовательно применим к ней зеркальные отображения:
•Sp, 50, S_a, 50, Sy
НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 243
В силу же предыдущих формул:
S$S0S _ aS0Sp = 52? _ а,
т. е. образованный таким образом процесс равносилен отображению относительно прямой (2р — а, оо); таким образом, эта точка Р должна лежать на этой последней прямой.
§ 3. Умножение концов
Определим теперь умножение двух концов следующим образом:
Определение. Если некоторый конец лежит по ту же сторону прямой (0, оо), что и конец —f-1, то этот конец называется поло- д
жительным; если же некоторый конец лежит по ту же сторону ______________«м_____________j
0
А
*
С
от прямой (0, со), что и коней —1, то этот конец называется отрицательным. р______________а\—---------------р
Пусть аир — два с
отличных от 0 и с» кон- аР аР
ца. Прямые (а, — а) и ‘(Р.— Р) перпендикулярны к прямой (0, оо) ¦"
[черт. 96]; пусть они Черт. 96.
пересекают эту прямую
в точках А и В. Отложим, далее, отрезок ОА на прямой (О, оо) от точки- В до точки С таким образом, чтобы на прямой (0, со) направление от О к А совпадало с направлением от В к С. Затем через точку С проведём перпендикуляр к прямой (0, оо) и назовём положительный или отрицательный конец этого перпендикуляра произведением ар обоих концов а, р, смотря по тому, будут ли оба конца положительны или отрицательны или же один нз них будет положителен, а другой отрицателен.
