Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
указанного определителя удовлетворяет изложенным на стр. 66 свойствам понятия «сторона».
Свойство 7 будет поэтому доказано, если будет показано, что знак определителя
не меняется при конгруентном отображении. Но вель. этот определитель отличается только положительным множителем Ьт мнимой части дроби
причём непосредственно видно, что эта дробь инвариантна относительно конгруентного отображения. . 1 „ , . f
и только в том случае, когда существует конгруентное отображение, переводящее первый отрезок во второй; угол мы будем считать конгруэнтным другому углу; в том и
и (лга, у2) расположены различным образом относительно направленных прямых, определяемых соот-
Черт. 84. ‘
<Ыз>
Соответствующие определители действительно отличаются своими знаками. Теперь наше утверждение следует полностью из того обстоятельства, что определение сторон прямой с помощью знака
*2 — У 2 —У 1
*з — • Уа~У\
Введём следующие определения: мы будем- говорить, что некоторый отрезок конгруентен другому отрезку в ¦ том
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 213
только в том случае, когда существует конгруентное отображение, перенодящее один угол в другой.
Мы покажем, что данное определение конгруентности отрезков и углов удовлетворяет а к с и о м а м 111,_6, если только положенное в осйову его конгруентное отображение обладает свойствами 1—7.
Справедливость аксиомы 111, является непосредственным следствием свойства 5.
Справедливость аксиомы Ш2 доказывается следующим образом. Пусть конгруентные отображения К\ и К2 пере: водят отрезки А'В' и А’В" в отрезок АВ. Из свойств 1,
2, 4, 5, следует, что конгруентиому отображению Кг соответствует обратное ему конгруентное отображение . Конгруентное отображение А'^1 Кл, существующее в силу свойства 2, переводит отрезок А'В' в А"В1‘.
Аналогичным образом доказывается справедливость аксиомы 1116.
Покажем теперь, что если отрезок АВ конгруентен отрезку А'В', то конгруентное отображение К, которое переводит луч АД в луч А’В', переводит также точку В в точку В'. Положим, что конгруентность отрезков АВ и А'В' получена с помощью конгруентного отображения Kv Если Кх переводит точку А в А', то в силу свойства 4 конгруентное отображение ККГ1 переводит луч А'В' в самого себя, а потому в силу свойств 1 и 5 оно должно быть тождественным отображением. Если же отображение А', переводит точку А в В', то мы воспользуемся отображением Кй, переводящим точку А в В и Точку В в А) это отображение К2 должно ¦ существовать в силу свойства 6. Конгруентное .отображение К(К2КГ^) переводит луч А'В' в самого себя, и, следовательно, есть тождественное отображение. ' :
Из доказанного и из свойств 4 и 5 непосредственно следует справедливость аксиомы 1113, -а из доказанного и из свойств 4, 5 и 7 непосредственно следует аксиома Ш!, .. Наконец, справедливость аксиомы Ш4 доказывается следующим' образом: если даны угол (а, Ь) и луч с,
214
ДОБАВЛЕНИЕ II
то в силу свойства 5 существует одно и только одно конгруентное отображение Кх, переводящее а в с, а также одно и только одно отображение Къ переводящее Ъ в с [черт. 85]. Отображение Kv как легко убедиться на основании свойства 4, рассмотрев конгруентное отображение КГ1, переводит луч b в луч Ь\ отличный от а; аналогично, отображение Кч переводит луч а в луч а', также отличный от с. Конгруентное отображение К^К~^ переводит луч с в а', а луч Ь' в с. Из свойства 7 следует, что лучи а' и Ь' лежат по разные стороны луча с. Таким образом, первая часть
аксиомы Ш4 выполнена. Вторая часть этой аксиомы является непосредственным следствием свойства 1.
Справедливость аксиомы И17 получается путём следующих рассуждений.
Черт. 85. Луч, исходящий из точки
(0,0),-— мы будем её обозначать буквой О — всегда можно представить с помощью уравнения, имеющего вид:
jc —|-iy = е''<8+'0 5; s 0;
этот луч получится из положительной полуоси х путём вращения [0, т; 0]. Как легко показать, из двух лучей, исходящих из точки О и расположенных в полуплоскости положительных у, тот луч лежит между другим лучом и положительной полуосью л:, которому соответствует по модулю 2тг меньшая сумма
Положим теперь, что правая сторона h некоторого угла совпадает с положительной- полуосью х; пусть уравнение левой его стороны k будет
x-\-iy = s^>0.
Во внутрь этого угла ведёт исходящий из точки О луч й\ В таком случае существует одно и только одно конгруентное отображение, которое переводит луч А в /г', а именно
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 215
вращение [Ф2, тг; 0]; оно переводит луч k в луч #, уравнение которого
х-f iy = +®»+T>+,»Js; s~^> 0.
Так как
*,-М2 + т, -ftjj>fr,-ft, (mod 2 тс),
