Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
(Т) = с0 4~ С1Т С2 ^ 4~ ¦ ¦ • -
в котором с0, cv са, ... могут быть любыми действительными числами, а т — бесконечно малое число системы Г, является опять-таки числом системы Т; этот ряд можно расположить по возрастающим степеням параметра t, причём коэффициентами в этом ряду будут служить действительные числа, получающиеся путём конечного числа арифметических действий из коэффициентов данного ряда и ряда, определяющего число т.
Пусть, далее, аир суть два произвольно выбранные числа системы Т. Число
a-f /р,
в котором i—мнимая единица, т. е. /2 —— 1, мы будем называть мнимым числом относительно комплексной системы Г, и пусть равенство a-(-/р = а'-(-/^' означает, что а = а' и р — jj\
Определим функции sin т, cos т, er, е1г бесконечно малого числа т их степенными рядами. Тогда значения этих функций опять-таки будут числами системы Т или же мнимыми числами относительно системы Т. Если &—любое действительное число, то функции sin (в +т), cos т), е' (*+г>, gW+(i+<b Мы можем определить в системе Т с помощью равенств:
sin (& -j- т)= s*n ft cos т -f- cos & sin г, cos (ft -f- т) = cos ft cos т — sin ft sin T,
0i8+(I + /)r g*g>№+*)
Из этих определений получаются хорошо известные соотношения:
cos8 (ft -\- т) sin2 (ft т) = 1, cos (ft + т) Чг isin (ft-f- t) ----- e*'<e+T>,
Теперь, с помощью комплексной числовой системы Т, построим плоскую геометрию следующим образом:
Будем считать пару чисел (*, у) комплексной числовой системы Т точкой, а отношение каких-либо трёх чисел
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 207
(u:v: w), из которых и и v оба одновременно не равны нулю, —¦ прямой; далее, пусть выполнение равенства
их -f- vy -|- w — 0
выражает, что точка (х,у) лежит на прямой (u:v:w).
Плоская геометрия, построенная указанным способом на основе числовой системы, в которой имеют место правила 1—16 § 13, как об этом было уже упомянуто в § 9, удовлетворяет аксиомам lj_3 и IV.
Легко убедиться, что прямую можно задать её точкой (jt0, у0) и отношением двух чисел a, fi, из которых по крайней мере одно отлично от нуля. Уравнение
х ‘¦У== -^о (Уо (а~Ь ty)si (а_!"®)i
в котором s есть некоторое число системы Г, означает, что точка (х,у) принадлежит упомянутой прямой. Упорядочим точки на прямой соответственно величине параметра s. Луч заданной прямой, исходящий из точки (*0,,'•<,), определяется в таком случае дополнительным условием: 5^>0или s 0. Если двум точкам А и В прямой соответствуют значения параметров sa и sb Q>sa), то отрезок АВ определяется уравнением прямой и дополнительным условием sa^s^ sb. В таком случае аксиомы Пг_3 также выполняются; чтобы убедиться, далее, что аксиома порядка П4 также выполняется, введём следующее определение: мы будем говорить, что точка (jc8, ys) лежит по одну или по другую сторону от прямой, определяемой точками [хх,ух) и (х%, д»а), в зависимости от того, будет ли знак определителя
1*2 — Х1 У2—Ух\ \хв~х1 У%~У il
положителен или отрицателен. Можно убедиться, что данное тем самым определение стороны по отношению к прямой не зависит от выбора точек [хх,у^) и (х2> уг) на прямой и согласуется с определением стороны, данным на стр. 64.
В основу определений конгруентности мы положим преобразование вида:
208
ДОБАВЛЕНИЕ II
кратко мы его будем записывать так:
лг'-f/у =[0,т; х+1>](дс-{-/у),
в котором 0— произвольно выбранное действительное число, т — бесконечно малое число системы Т, а X и ji — любые два числа системы Т. Преобразование этого вида мы будем называть конгруентным отображением. Конгруентное отображение, при котором Х = ^ = 0, называется поворотом около точки (0,0).
Совокупность таких конгруентных отображений образует группу, т. е. эта совокупность обладает следующими свойствами:
1. Существует конгруентное отображение, оставляющее все точки на месте:
[0,0; 0] (х -f iy) = лг4- iy.
2. Результат двух конгруентных отображений, выполненных одно за другим, представляет собою также конгруентное отображение:
[д2,т2; Х24-<>2] UMp X, 4- ip.x] (л: -I- гу) >=
=[824- ®i. T2 + >.2 4- *1*2 + + °т* Оч + <>i)] (* + 1У)-
Для каждого конгруентного отображения существует обратное ему отображение:
[_ — т; — (Х4- щ) *-«-0+0»] {[», т; 14- *>] (х 4-<у)} =
х 4- iy.
Это свойство является следствием свойств 1, 2, 4, 5.
Конгруентное отображение обладает ассоциативным свойством, т. е. если мы три конгруентных отображения обозначим через Кх, К2, Къ, а конгруентное отображение, получающееся из Kv К2 согласно пункту 2, обозначим через К2Ки то будет иметь место равенство
K,{K2Kx) = [K,iK2)Kl.
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 209
Кроме этих свойств укажем ещё следующие свойства конгруентного отображения: .
