Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Строчные и заглавные готические буквы означают указания и употребляются только для сообщений *).
*) Другими словами, готический буквы не выражают непосредственные объекты теории, а служат лишь для замены или сокращения словесных формулировок. (Прим. ред.)
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
371
Различают два рода математических переменных:
1) основные переменные,
2) родовые переменные.
1. В то время как в арифметике и анализе мы обходимся обыкновенными целыми числами, которые служат там единственными основными переменными, теперь каждому канторовскому трансфинитному числовому классу принадлежит основная переменная, которая способна принимать значения порядковых чисел именно этого класса. Каждой основной переменной относится, в соответствии с этим, высказывание, которое характеризует это переменное, как таковое; это высказывание неявно характеризуется аксиомами.
Каждой основной переменной принадлежит некоторый способ рекурсии, с помощью которого определяются функции, аргументами которых являются такого рода переменные. Рекурсия, относящаяся к числам-переменным, есть «обычная рекурсия», в силу которой функция числа переменной п определяется тем, что указывается её значение при п = 0 и способ, с помощью которого можно получить значение этой функции при я', зная её значение при «. Обобщением обыкновенной рекурсии является трансфинитная рекурсия, общий принцип которой состоит в том, что значение функции для некоторого значения переменного определяется из значений этой функции для предыдущих значений переменной.
2. Из основных переменных мы производим дальнейшие виды переменных, налагая на высказывания относительно основных переменных, например, на Z, логические связи. Определённые таким образом переменные называются родовыми переменными, а высказывания, их определяющие,— родовыми высказываниями; для этих последних опять-таки каждый раз вводится новый индивидуальный знак. Так, формула
даёт простейший пример родового переменного; эта формула определяет poi функций-переменных (быть функцией, Funktion-sein). Другим примером является формула
24*
372
ДОБАВЛЕНИЕ IX
она определяет «быть функционалом», аргументом g в ней служит новая переменная — «функционал».
Для составления высших родовых переменных надо сами родовые высказывания снабдить индексами, благодаря чему становится возможным рекурсионный процесс.
Теперь мы можем указать, чтб следует понимать под явными определениями и под рекурсиониыми аксиомами: каждое явное определение есть эквивалентность или равенство, в левой части которого стонт определенный знак (заглавная или строчная греческая буква) с некоторыми переменными в качестве аргументов, а справа — фигура, в которой в качестве свободных переменных выступают только указанные аргументы, а в качестве индивидуальных знаков — только те знаки, которые были уже раньше введены.
Рекурсионные аксиомы суть системы формул, которые соответствующим образом копируют рекурсионный способ *).
Это суть общие основания моей теории. Для того чтобы познакомить вас ближе со способами применения этой теории, я хотел бы привести несколько примеров специальных функций, как они определяются с помощью рекурсии.
Определим функцию I(а), равную 0 при значении аргумента 0, и 1 при всех остальных его значениях. Равенства
1(0) =0, i(a')=l
уже являются самой рекурсией. Кйк с помощью рекурсии определяются сумма, произведение и фуикиия а! — это известно.
Функцию )л(а, Ь), . представляющую собой значение меньшего нз двух чисел а, Ь, также легко определить с помощью рекурсии.
*) Здесь имеется в виду формальная запись тех свойств объекта, которыми — в содержательном понимании — он определяется посредством математической индукции; см. примеры. (Прим. ред.)
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
373
Напомню ещё два более сложных примера, именно функцию
т(а) = 1, когда а простое число, т(а) = 0 во всех других случаях
и функцию тi(a), определяющую число простых чисел, меньших или равных а.
Действительно, эти функции также могут быть определены с помощью рекурсии; для этого сначала надо ввести также с помощью рекурсии следующие две функции трёх аргументов:
if (а, Ь, с) = 0, когда Ь равно одному из чисел 1*в,
2-а, С'<г (Ь~^> 0), =1 во всех остальных случаях.
<|>(а, Ь, с), равную наименьшему из тех чисел 1, 2, а, которые являются делителями Ь и с; в случае же, когда ни одно из указанных чисел этим свойством не обладает, то ф(а, Ь, с) = Ь.
Если мы намерены построить математику, то сначала нам надо обратить внимание на элементарную теорию чисел; мы убеждаемся,» что мы можем получить и доказать истины этой дисциплины с помощью ?одержательно-нагляд-ных рассуждений. Получающиеся при этом формулы употребляются только для сообщений. Бу%ры означают числовые знаки, а о совпадении двух знаков сообщается с помощью равенства.
Иначе обстоит дело в алгебре; в алгебре мы рассматриваем буквенные выражения -сами по себе., как самостоятельные образы; теоремы же теории чисел, которые включены в алгебру, этими буквенными выражениями формализуются. Вместо излишних числовых знаков выступают формулы, которые являются теперь с своей стороны конкретными объектами наглядного созерцания, а на место содержательного теоретико-числового доказательства выступает здесь вывод одной формулы из другой, совершаемый по определённым правилам.
