Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
внутреннее s: 33 (я, у) нельзя, например, заменить числом,
а можно заменить только функцией. В качестве заменяющих функций употребляют только такие функции, которые, за исключением конечного числа точек, имеют значение 0. Всегда начинают с функции, которая постоянно имеет значение 0 («нуль-замена»).
Однако отсюда без дальнейшего отнюдь не следует, что и в этом случае способ замены приводит к концу; но это можно доказать и получить элементарную оценку требуемого числа шагов. При этом существенно, что каждый раз, когда для внутренних s производится новая замена функцией, замена внешних ? должна снова начинаться с нуль-замены.
При этом доказательстве конечности предполагается, что ? входят только непосредственно в фигуру доказательства, но не входят в рекурсионные аксиомы, введённые для определения функций.
Отметим, наконец, что для того, чтобы принять во внимание аксиому полной индукции, которая для целей доказательства непротиворечивости может быть представлена в виде _____
(s хА(х) = Ь')~^А(Ь),
достаточно каждый раз, когда найден пример J, удовлетворяющий высказыванию 23(a), перейти к наименьшему примеру. Этот переход совершается путём отыскания пер-25*
388
ДОБАВЛЕНИЕ IX
вого верного в ряду высказываний, сведённых к числовым формулам:
Я (0), 8 (O'),-.-,» (8).
Из сказанного мною вы узнали, что доказательство непротиворечивости "есть то, что определяет область действия моей теории доказательства и что составляет в основном ядро этой теории. Метод В. Аккерманна допускает ещё и дальнейшее расширение. Он так далеко зашёл в обоснованнн обычного анализа, что оставшаяся задача состоит в выполнении чисто математического доказательства конечности. Уже сейчас я мог бы в качестве окончательного результата высказать следующее утверждение: математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза. Для её обоснования я не нуждаюсь ни, как Кронекер, в господе-боге, ни, как Пуанкаре, в предположении об особой, построенной на принципе полной индукции, способности нашего разума, ни, как Броуер, в первоначальной интуиции, наконец, ни, как Рессель или Уайтхед, в аксиомах бесконечности, редукции или полноты, которые являются подлинными гипотезами содержательного характера и, сверх того, вовсе не правдоподобными.
Я хотел бы ещё отметить, что Б е р н а й с был и на этот раз моим верным сотрудником; он не только поддерживал меня своими советами, но также добавил некоторые мысли и новые точки зрения, так что эту работу я желал бы считать нашей общей. В соответствии с этим мы намерены выпустить в свет подробное изложение этой теории.
ДОБАВЛЕНИЕ X
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ*)
(Перепечатано из Mathematische Annalen, т. 102; появилось также в отчётах интернационального математического съезда в Болонье в 1928 (IV).)
Последние десятилетия были периодом нанвысшего расцвета математической науки.
Напомню о том, что в арифметике, особенно в теории алгебраического числового поля, были решены труднейшие проблемы и была завершена постройка этого прекрасного творения мысли. Вместе с тем удалось открытие трансцендентных функций, относящихся к числовому полю, котррые долго разыскивались и которые удалось выявить благодаря разнообразным, ранее сокровенным теоретико-числовым истинам. С другой стороны, способы образования понятий в теории идеалов были с большим успехом перенесены далеко за пределы террнн чисел, в алгебру и в теорию функций, и тем самым большой комплекс математических дисциплин был приведён в единую систему.
Также и в теории функций комплексного переменного были достигнуты за истекший промежуток времени немалые успехи. В частности, благодаря развитию принципа конформного отображения, мы имеем теперь прекрасные методы получения автоморфных функций и решения проблемы унн-формнзацни. Столь трудные теоремы существования в высшей Степени упростились и стали прозрачными благодаря применению методов вариационного исчисления.
*) Доклад, прочятанвый ва интервациовальвом математическом ковгрессе в Болонье 3-го севтября 1928 г.
390
ДОБАВЛЕНИЕ X
А какую полноту картины даёт нам геометрия! Одна только топология настолько обогатилась новыми постановками вопросов и методами обработки, что в этом дблжно усмотреть возникновение новой самостоятельной ветвн науки. Также и дисциплины, близкие старой геометрии,— теория групп и теория инвариантов — расширились и углубились сверх ожидания.
Наконец, физика воздвигла на наших глазах математические здания, палаты которых импонируют своим великолепием. Мы вообще имеем в виду и приложения математики: не худшие плоды пожинает математика на полях своих приложений, будь то её приложения к смежным дисциплинам или. к вопросам, возникающим из потребностей практики. Область, в которую проникает математика, постоянно расширяется.
Столь отрадное положение вещей особенно сильно обязывает математиков укреплять математику в её основах.
