Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
&, V, —, -
и или (либо) следует не
О БЕСКОНЕЧНОМ
359
и пользоваться кроме математических переменных а, Ь,с,... ещё и логическими переменными, т. е. переменными высказываниями А, В, С, . . .
Как это может произойти? К счастью для нас, здесь оказывается та же предустановленная гармония, которую мы так часто встречаем в истории развития науки — которая пригодилась Эйнштейну, когда он для своей гравитационной теории нашёл вполне разработанное общее исчисление инвариантов: в качестве такой успешно разрабатывавшейся предварительной теории мы находим алгоритм логики. Правда, этот последний возник первоначально из совершенно других отправных точек зрения, и з соответствии с этим знаки логического исчисления первоначально былн введены тоже только для сообщений; но будет последовательным, если мы теперь отвергнем значение логических знаков, как мы отвергли значение знаков математических, и объявим, что формулы логического исчисления сами по себе не имеют никакого значения и суть идеальные высказывания. В логическом исчислении мы обладаем языком знаков, которым можно математические теоремы выразить с помощью формул, а логические умозаключения выразить с помощью формального процесса. Аналогично тому, как мы это делали при переходе от содержательной теории чисел к формальной алгебре, мы и в логическом исчислении рассматриваем знаки и символы операций, отвлекаясь от их содержательного значения. Благодаря' этому, мы вместо содержательной.математической науки, которую мы передаём обыкновенным языком, получаем некоторую совокупность формул с математическими и логическими знаками, следующих друг за другом по определённым правилам. Математическим аксиомам соответствуют некоторые определённые формулы,- а содержательным выводам соответствуют правила, по которым формулы следуют одна за другой: таким образом, содержательные выводы подменяются внешними действиями согласно правилам. Тем самым совершается строгий переход от наивного к формальному обращению, с одной стороны, с самими аксиомами, которые сначала наивно считались основными исти-
360
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
нами и которые уже давно в современной аксиоматике, рассматриваются только как связи понятий, а с другой стороны — с логическим исчислением, которое первоначально должно было быть только лишь иным языком.
Мы хотим ещё кратко разъяснить, каким образом формализируется математическое доказательство. Определённые формулы, которые, как я сказал, служат камнями для постройки формального здания математики, называются аксиомами. Математическое доказательство есть некоторая фигура, которая, как таковая, должна наглядно пред нами предстать; оно состоит из выводов, делаемых по следующей схеме:
©
© —*%
%
где всякий раз каждая посылка, т. е. в упомянутых формулах © и © —>• есть либо аксиома (или получается из аксиомы при помощи подстановки) или совпадает с заключительной формулой некоторого вывода, уже встречавшегося ранее в доказательстве (или получается из этой формулы при помощи подстановки). Формулу мы будем называть доказуемой, если она является либо аксиомой,, либо конечной формулой некоторого доказательства.
Нашей программой мы уже предрешили выбор аксиом для нашей теории доказательства. Несмотря на некоторый произвол в выборе аксиом, здесь, как и в геометрии, различаются качественно отдельные, обособленные группы, из которых мы будем каждый раз приводить некоторые примеры *):
1. Аксиомы следования:
А — (Б—»А)
(добавление предпосылки);
(В С) —>¦ {(А —+ В) —*- (А —> С)}
(исключение высказывания).
*) Упомянутая система аксиом дана на стр. 367—369 (добавление IX).
О БЕСКОНЕЧНОМ
361
II. Аксиомы отрицания:
{А-^(В&В)\-+А (закон противоречия);
Х-^А
(закон двойного отрицания).
Из закона противоречия следует, что
(А & А) --+В,
а из закона двойного отрицания следует закон исключённого третьего:
{(Л-*Б)&(Д->.Б)}—В.
Аксиомы групп I и II суть не что иное, как аксиомы исчисления высказываний.
III. Трансфинитные аксиомы:
(х) А(х) —> А (а)
(заключение от общего к частному, аксиома Аристотеля) (я) А (х) —>¦ (Ех) А (х)
(если сказуемое справедливо не для всех объектов, то существует противоречащий пример);
(Ех) А (дг) —+ (я) А (х)
(если не существует примера, для которого некоторое высказывание имело бы место, то это высказывание ломшо для всех х).
При этом выявляется то замечательное обстоятельство, что все эти трансфинитные аксиомы могут быть выведены из одной, а именно — той, которая содержит одновременно и ядро так называемой аксиомы произвольного выбора, более всего оспаривавшейся до сих цор в математической литературе. Указанная аксиома такова:
