Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
S
где bj — целые неотрицательные числа, и d: — 2 «/• Число d0,
f-1
можно представить в виде d0 — N2 — где е В. Пусть, с — наибольший из целочисленных коэффициентов при nit вхо-
3 4) ПРОЦЕСС ВОССТАНОВЛЕНИЯ 169
дящих в N2. Для любого целого т > 0.положим т == kd\ + ти где 0 <ml< di. Тогда mdQ = kd0-d{ + n%id0 е В, если kdQ >
> mtc, что наверное будет выполнено, когда k > —¦ или когда
а о
т > -4~ + dx. ¦
“0
Рассмотрим апериодический процесс восстановления и докажем существование предела Q^ — lim G (п).
rt->oо
Лемма 5. Пусть т — случайная величина, принимающая значение п (я = 0, ±1,±2, ...) с вероятностью рп, ф(ы) — характеристическая функция величины т. Если d = 1, то ф(«) ф 1 лри\и\ < 2я, и ф 0.
Доказательство. Имеем
оо
ф(ы) = Ме<нт = 2 Рпе'ип•
—оо
Пусть ф(ыо) = 1, \Щ)\<2п, щФО. Имеем
оо
0 = 1 — Reф(u0) = ? (1 — cosm/o)/v
— 00
Поэтому cos пи0 = 1 для всех тех п, для которых рп > 0, или ли0 = 2я&. Выберем последовательность целых чисел щ, Пг,... ____ п3, для которых рП(.> 0 и наибольший общий делитель которых равен единице. Тогда nru0 — 2nkr (г = 1, 2, ..., s).
С другой стороны, уравнение ? arnr = 1 имеет решение в це-
г-1
лых числах аг. Следовательно,
Я S
«о = Z агпги0 = 2л Yj arkr = 2nk0, r-о 1
тде &о — целое число, что противоречит условию |и0|<2л. ¦ Лемма 6. Если восстановление апериодично, то предел
— lim G (п) существует.
rt-> оо
Доказательство. Положим
оо
G(z, n)='Zlzkprl(k), 0, 0<2<1,
k-0
где рп (k) = P{lk == п}, Ik = ti +'... + Tft. Из теоремы Абеля о степенных рядах следует, что
G (п) = lim G (z, п).
Z+l
170 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. Ill
Так как характеристическая функция случайной величины равна [<р(«)]\
[ф(«)]&==?рп(?)е<ш‘,
л— 1
где ф (и) = MeiuT*, то
Л
—Я
Поэтому
Я
г I \ I [ е~{пи du л
j Т — гф(ц) ’ tt>°-
—Я
При п < 0 интеграл в правой части последней формулы равен нулю. Следовательно,
Я
/ v 1 f cos пи du
G^n)-n Зппда
—я
Положим Л(г, «) = -!¦ Re (1—гф(«))-1. Так как G (г, я) — вещественная функция, то
Я
G (г, п)= (г, и) cos пи du.
— Я
Ядро h(z, и) (ге[0, 1], 0<|и|<2я) положительно и непрерывно в силу апериодичности восстановления и леммы 5. Поэтому при любом е > 0
8
G(rt) = lim ^ h (z, и) cos пи du + ^ h (1, и) cos пи du. (8)
г^’1 -е е< I в|<я
Полагая здесь п = 0, видим, что существует предел
е
/г8 = lim \h(z,u)du
-е
и he ^ 0(0)'. Так как he убывает при е j 0, то предел НгпЛе = /го
е-»0
также существует. Следовательно, существует
f 4] ПРОЦЕСС ВОССТАНОВЛЕНИЯ 171
Возвращаясь к формуле (8), видим, что А(1, и) является интегрируемой (в смысле Коши) функцией на отрезке (—л, л) и
П
G (п) = А + ^ A (1, и) cos пи du.
-Я
Так как А(1, и) интегрируема, то по теореме Римана — Лебега
П
lim \ А (1, и) cos пи du = 0.
П-* ОО J -Я
Таким образом, доказано, что limG(n) = A существует. В
гг-> оо
Теорема 2. Если восстановление апериодично, то lim G(n)=~, m = МтА,
tl-±oo "I
причем если МтА = оо, то lim G(n) — 0.
П-*оо
