Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Это определение однозначно. Действительно, если С = {(о: (х,...............*л,..,)ей'(, D' €= ®т
и, например, tti>n, то D' — DXXn+lX • • • X Хт к
р<°. т> (х0, D')= J J Р0 (х0, dx{) Р, (хи dx2) ... xtx ... х.хт
... Pm-t(*m—1, dxm)xD’(xU .... Xm),
Где Xd'(xi> .... Jcj—индикаторD'. Учитывая, что XD'(*i- •••. *m)=
— • • • > xn) и что Pfc-i(*. из последнего выра-
жения получаем
Р<°- "*> (х0, D') = Р<°' «) (хь, ?>)•
Аддитивность функции Р**»* на ®° очевидна.
Теорема 3. На {X00,®}, где © — а-алгебра, порождаемая цилиндрическими мноокествами пространства Xх, существует единственное семейство мер P(Xe) такое, что
Р<*>{и: xks=Bk, k = \, .... п) = ^ Р0 (х0, dxi) ^ Р, (xt, dx2) ...
в, в2
Рп-2 С^п-г» dxn— j) Рп— j (хп~j, Вп).
S
Доказательство. Достаточно показать, что введенная на 6° мера Р(*о)удовлетворяет условию непрерывности: для любой монотонно убывающей последовательности цилиндрических множеств С„, для которой П С„ = 0, имеем P(JCe) (С„) —> 0. Допустим обратное: P<Xt) (С„) ^ е при некотором хй\ основания цилиндрических множеств Сп обозначим через Dn, индикатор ?>„ — через а (А,; х,, х2, ..., хтп) = х Шп), и пусть Dn расположено над координатами (1, 2, ..., т„). Определим последовательность
« 8} ЦЕПИ МАРКОВА J8S
множеств из Э
Вп |^1* j %(^п» XU Д»2» •••> ^mB) X
I *(2' тп)
X Р(1, mn) (хи dx2 х ... X dxmn) > |}.
где Х(*'т> обозначает произведение пространств ^Х^жХ •
... X Хт.
Из того, что С„ убывают, следует, что В(п]) также монотонно убывают. Далее, если х(В(п1)) — индикатор и х(^°)“ = ! — Ъ(вп])’ то
e<pw)(cn)=j \ ьт+хт)х
X, ^(2, тп)
X X №») р° (*о, dx,) Р'1' "»> (х,, dx2X ... X <
<Р,(*„. ».")+! S*W’)Po(% ¦<*,)<P.(V +
XI
Поэтому Р0(*0» W) > e/2. Так как Р0(*0. •) является мерой,
оо
то отсюда следует, что П В^Ф0. Пусть хх е В^\ ti — 1, 2, ...
л=» 1
Тогда
^ %(Pnt xlt х2> ¦ • хтп) Р^ (*1> dx2 X X dxmn) > 2 *
Л(2, m„)
Приведенные только что рассуждения можно применить к ядру Р<2, (хъ dx3 X ... Xdxmn) и мере Pi(*i, d*2). Тогда будет доказано существование такой точки х2, что для любого Da
^ %(Dn, Xj, Х2, Х$......^я*п) X
Jt(3* тп)
X p(2- тп) (х2> dx3x ...X dxmn) > J .
Таким образом, строим последовательность (xi,x2, .... хп, ...), в которой хп^Хп и при любом s, Dn
^ Х(^л> X], Х2, . . ., Jfs+i, . . ., xtn^) X
A(s+1- mn)
X p(s’mn) (*„ dxs+1X ... X d*mn) > .
186
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. III
Возьмем произвольное множество Си- Допустим, что его основание Dh расположено над координатами (1, 2, ..., s). Последнее неравенство показывает, что (х\,х2, ..., xs)^Dh (в противном случае было бы %(Dk, хи х2, . .., xs, xs+l......хт^ =0
при всех (xg+i, ..., хт)). Поэтому {х\, х2, ..., xs, ...)eCh, ка-
оо
ково бы ни было Сй, и, значит, f] Ск =что противоречит
первоначальному допущению. В
Следствие. Пусть дана счетная последовательность вероятностных пространств {Хп, Эп, qn}, п = 1, 2, ... Пусть X — пространство всех последовательностей ш =(xi, х2, ..., хп, ...), Хп^:Хп, и <S—а-алгебра, порождаемая цилиндрическими множествами Х°°. На {Х00, ®} существует единственная вероятностная мера Q такая, что
П
Q{co: xk<=Bk, k = \, 2, n} = Ylqk(Bk), Вк<=Ък.
Иными словами, если задана некоторая последовательность вероятностных пространств {Хп, 5Э„, qn), п = 1,2, ..., то всегда существует вероятностное пространство {Q, @, Q} и последовательность отображений /п пространства Q в Хп таких, что случайные элементы = [п(ы) имеют заданные распределения qn на Эп и Цп,п= 1,2, ...} независимы в совокупности.
Замечание. Доказанная теорема, в отличие от теоремы Колмогорова (гл. II, § 2, теорема 5), не использует каких-либо топологических предположений о природе пространств Хп-С другой стороны, она является менее общей, чем теорема Колмогорова, так как относится к специальной конструкции мер в произведении пространств.
Возвратимся к цепям Маркова.
Определение. Цепью Маркова с фазовым пространством {^,§3} называется семейство мер Р<т>(-), заданных на зависящих от произвольной меры пг на {Х, 8} как от параметра, частные распределения которых определяются формулой
Р<т) {©: %е4 k = 0, ..., п} =
= J m {dx) J Р0 (х, dy{) ... J Рп_! (уп-и Вп), (8)
В0 В1 ВП-1
где {Рп(х,В), п — 0, 1, ...} — некоторая система стохастических ядер на {Xs}.
