Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, разность V(t) между двумя решениями уравнения (4) (при заданных z(t) и F(t)) удовлетворяет уравнению V = F * V. Следовательно, для любого п V = F*in)* V. Но тогда max V(0**% max V (t)F*w (Т)-*-0 при п—*оо, так что
t е [0, T] t <= [0, П
7(0*0.
Исследуем асимптотическое поведение функции H(t) при t —> оо.
Лемма 2. Функция H(t) полуаддитивна, т. е.
я(/, + /2)<я(/,) + я(;2).
Доказательство. Имеем 00
+t2) - Я(*,) = ? Р (/, < !„</, +t2) =
n-0
n-1
Так как g„ — ?* не зависит от %k и то
= MP (i„ - и </, + t2 - и I Ы X (lft-1 < ti < Ik <ti + У.
166 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ, III
где %{А) обозначает индикатор события А. Далее,
оо
? Р (E»t — %k ^ ti + Ч — Ift I Ift) + — %k),
2 X (Efc-i ^ h < \k ^ ti + ti) ^ 1.
fe=i
поэтому
<M ilH(tl + t2-lk)x(tk-i<t1<U<ti + t2)<H(t2). Ш fc-1
Лемма 3. Для произвольной неотрицательной локально ограниченной полуаддитивной функции H{t) предел I— lim—~
i -> оо
существует.
Доказательство. Пусть с > 0, t = kc + h, h e [0, с) и k — целое число. Тогда
H{t) = H(kc + h) ^ kH(c) + H(h) t kc + h kc ¦+¦ h ’
откуда
77— H(t) . H (c) rr— H{t) ^ .. H (с) _
lim—<—— и lim—j-^lim—W-.И Найдем значение предела lim ¦.
Теорема 1 (элементарная теорема теории восстановления).
L_ (-^ = 0, если Мт, = с») . (5)
Доказательство. Рассмотрим преобразоврмн^ Ляпласа Й(з) функции Я (t):
оо
H(s)=*\e-stH(f)dt.
о
Имеем
§ 4] ПРОЦЕСС ВОССТАНОВЛЕНИЯ 167
Так как
Г f
\ е~и - ^ ' udu=s2\ e~stH (t) dt < seH (-J) -> 0
os о
при e->0 и H (y) (-7) ~*l ПРИ s->0 и любом ы^О, то
lim s2H (s) = ^ e~ulu du = 1.
s->0 J
С другой стороны, переходя к преобразованиям Лапласа в равенстве (3), будем иметь
ОО t
H(s) = \ e~st dt -f J ^H(t-t') e-sit-n-sf dF (*')dt =
0 0 0
00 00
= 1+5 e-*’ dF (t') \ H («) e-*“ du = ± + H(s)F (s),
0 0
где F(s)—преобразование Лапласа — Стилтьеса функции F(t):
00
F(s)= \e~stdF{t). (6)
0
Таким образом, для функции R(s) имеем следующее выражение:
H(s) =-------L-----. (7)
w S(1-F(S)) w
Если величина Mti конечна, то
limi^
s+O s
00 00
= \^e~-StdF (t)^\tdF(t).
В этом случае
I = lims2# (s) = lim------1r-
s-»o s-»o 1 — F (s) Mti
OO
Если же ^tdF(t) = 00, то, как нетрудно видеть,
168
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. пг
Полученный результат можно было предвидеть: среднее-число восстановлений в единицу времени равно величине, об* ратной среднему времени непрерывной работы прибора.
Более точные результаты в теории восстановления зависят от природы функции распределения F(t).
Предположим, что продолжительность работы прибора может иметь только значение вида т = nh, п = 0, 1, ... В этом случае говорят, что величины т* имеют решетчатое распределение. Не умаляя общности, можно считать h = 1. Пусть рп — «= Р (Tft = п). Положим
G (п) = 1 + Р (т, = п) + ... + Р (т, + ... тk = n)+ ...
Из предыдущего следует, что G (л) < оо (если rft > 0 с вероятностью 1, то G(n)^: 2). Пусть d — наибольший общий делитель тех га, для которых рп > 0. Если d = 1, будем называть процесс восстановления апериодическим; если d > 1 — периодическим, a d — периодом восстановления. В случае апериодического процесса восстановления G(n)>0 для всех п, начиная с некоторого га = п0. Если же d > 1, то при всех достаточно больших k, k ^ k0, G (kd) > 0. Эти утверждения вытекают из следующей элементарной теоретико-числовой леммы.
Лемма 4. Пусть d — наибольший общий делитель последовательности положительных целых чисел пи п2............п3. Су-
ществует такое число пг0 > 0, что для всех целых m ^ пга неопределенное уравнение
S
md = ? с,п, i-i
имеет решение в целых неотрицательных числах Су
Доказательство. Пусть А — множество всех чисел, предста*
S
вимых в виде х = 2 а^, где а, — целые (положительные, отрицательные или 0). Каждое х делится на d. Пусть d0 — наименьшее положительное число из А. Так как х — kd0 е А при любом целом k, то, каково бы ни было х, найдется такое k, что-х — kd0 (в противном случае нашлось бы такое k\, что х\ — = х — kid0 удовлетворял бы неравенствам 0 < *i < do, что-противоречит определению dQ). Итак, d0 есть наибольший общий делитель чисел из А. Пусть теперь В = х— X V*/} »-
