Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из теоремы о сходимости рядов с вероятностью 1 при помощи простого преобразования можно получить теоремы типа усиленного закона больших чисел, т. е. теоремы о сходимости с вероятностью 1 некоторых средних от случайных величин. 'Приведем пример такого рода.
оо
Лемма 1. Если ряд ? zn сходится и ап — монотонно воз-
л=1
растающая последовательность, а„ >0, ап -*¦ оо, то
П
J-]Takzk-+0.
П
Доказательство. Пусть S0 = 0, Sn = X zk и |S„|^c, п —
k*=[
1, 2, ..., где с — некоторая постоянная. Положим а* — а*-1 =
¦ — Дь k = 1, 2, ..., а0 = 0. Тогда
п п п
X flfcZfc = X (Ai -f Дг + • • • + Д*) zk = X Д* (Sn — Sb-i), ¦
Поэтому
n
+ sup | Sn — S/l-l | ^
<2C-^ + sup |5„- Sfe-jKs
Яо<*<П
для любого e > 0, если /г и По выбраны достаточно большими. В
Из доказанной леммы и теоремы Колмогорова (следствие 2 •теоремы 2) вытекают следующие утверждения.
Теорема 5. Если {?„, п = 1,2, ...} независимы и
1
1
j 3j ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ 15Г
то с вероятностью 1
n
А-I
Для одинаково распределенных случайных величин ?п более сильные результаты будут получены в дальнейшем как следствия общих эргодических теорем.
§ 3. Эргодические теоремы
Рассмотрим стационарную случайную последовательность-{|(0, t^T), Т = {t: t = 0, ±1, ±п, ...}, со значениями
в некотором измеримом пространстве {^, Э}. Стационарность-последовательности означает (см. гл. I, § 5), что совместное распределение последовательности {i(/i+0, +
.... i(^n + 0} не зависит от t, каковы бы ни были га, t, t\, ... ..., tn (< е Т, га > 0). Это определение равнозначно тому, что для любой ограниченной ©"-измеримой функции f(xь ..., хп), 4е1, величина M/(i(?i + 0> •••> К^п + О) не зависит от t для любых га, tь ..., tn.
Пусть Хт обозначает пространство всех последовательностей и = {..., Х-п, х-п+и Хо, Х\, ..., хп, ...}, 6 — минимальная сг-алгебра, содержащая все цилиндрические множества Хт, — мера, индуцируемая на 6 последовательностью {?(/)> t^T}. Таким образом, вероятностное пространство {Хт, 6, Р|) является естественным представлением процесса {?(0,
Через {^г, Р|} обозначим пространство с пополненной ме-
рой. В Хт введем операцию сдвига времени 5: и' = Su, если хп==хп+1> пе.Т, где «={х„,гаеГ}, и' = [х'п, гае Т). Операция 5 имеет обратную S-1, причем если и" = S~lu, и" — = {х", га е 7], то х" = Условие стационарности последовательности |(0 означает, что для произвольного цилиндрического множества С
Р| (С) = Pj (5С). (1)
Поскольку мера на цилиндрических множествах однозначно определяет меру на @ и на ее пополнении 6g, то равенство (1) сохраняется для произвольного А е (Ё^:
Ps(A) = Ps(SA), (2)
Определение. Пусть {U,%, \х) —некоторое пространство с мерой, S — измеримое отображение {V, §} в {U, 5}. Преобразование S называется сохраняющим меру, если для любого А е 5,
где 5-|Л—полный прообраз множества А.
152
случайные последовательности
(ГЛ. III
Преобразование S называется обратимым, если существует такое измеримое преобразование S-1, что SS_I = S_1S — 1,1— тождественное преобразование. В этом случае преобразование S~l называется обратным к S. Определение стационарной последовательности эквивалентно следующему: последовательность {1(7), t^T} стационарна, если оператор сдвига времени S в Хт сохраняет меру Р?.
Задача изучения стационарных последовательностей является частным случаем задачи изучения сохраняющих меру обратимых преобразований (автоморфизмов) некоторого пространства с мерой.
Рассмотрим вопрос об асимптотическом поведении при п—> оо среднего
П-I
(3)
fe=0
где Sk — k-я степень преобразования 5, f(u) — произвольная S-измеримая функция, {U, g, ц} — некоторое пространство с мерой ц и ц.((/)<=; оо. Чтобы понять смысл этой задачи, рассмотрим тот случай, когда {U, ft, |и,} совпадает с {Хг( S, Pg}, а 5 — оператор сдвига времени. Пусть ===== g(&, ы) = лгд, f lu) = %в{х0), где %в(х)—индикатор множества ВеЭ. Тогда f(Shu) =
= Хв(5*») = Хв (IW) и
(4)
