Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
lim Ап—верхний предел последовательности событий А„ (п = 1,2, ...)—событие, происходящее тогда и только тогда, когда осуществляется бесконечная последовательность событий Ап (limАп — {б. мн. Ап}).
lim Ап — нижний предел последовательности событий Ап (п = 1, 2, ...)—событие, происходящее тогда и только тогда, когда осуществляются все события Ап, начиная с некоторого номера. Нетрудно заметить, что
со оо оо со
lim Ап — П U Ап, \\m_An=[] f] Ап. (1)
/л=1 n—m т — 1 п—т
Например, событие, написанное в правой части первого равенства, происходит тогда и только тогда, когда для любого т найдется такое п ^ т, что событие Ап осуществляется. Последнее равносильно тому, что существует бесконечная подпоследовательность осуществляющихся событий Ап-
В дальнейшем часто применяются следующие формулы, выражающие соотношение двойственности операций суммирования и совмещения событий:
А\ U Ва = П (А \ Ва) (или (J Ва = П Ва)> (2)
ael nel ael oel
A\ П Ba = [J (Л \ Ba) (или f] Ba = (J Ba). (3)
ael ael ael ael
Проверка этих формул не составляет затруднений, причем одна из них следует из другой.
90
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1ГЛ. II
Эксперимент. Как было сказано ранее, каждый допустимый при данном комплексе условий У эксперимент полностью описывается некоторым классом (совокупностью) событий, наблюдаемых в этом эксперименте. Условимся классы событий (классы подмножеств множества Q) обозначать готическими буквами % 8, 0т, ...
Пусть — класс событий, наблюдаемых в данном эксперименте, Если eg (п — 1,2, ...), то, очевидно, событие (J Ап
П
(оно осуществляется тогда и только тогда, когда осуществляется одно из Ап), событие |~| Ап (оно осуществляется тогда
П. _
и только тогда, когда осуществляются все Ап) и событие Лп (оно осуществляется тогда и только тогда, когда не осуществляется Ап) также являются наблюдаемыми.
Определение. Класс событий (множеств) $1 называется алгеброй, если 81 содержит Л US, А[\В, А\В, каковы бы ни были А и В из §1.
Алгебра событий (множеств) называется а-алгеброй, если
оо
(J Ап е 21 для любой последовательности {Ап, п~ 1, 2, ...},
п—!
Л„е %.
События из сг-алгебры 51 называются 21 -измеримыми.
Из определения сг-алгебры следует: если Ап е 21, п— 1, 2, ...,
оо
2f — cr-алгебра, то f) Ап е -21. Это вытекает из формулы (3):
оо оо
ГК- и А,.
П~[ П" 1
В соответствии с предыдущим замечанием условимся счи* тать, что класс наблюдаемых в данном эксперименте событий является сг-алгеброй.
Множество экспериментов можно упорядочить. А именно, если экспериментам Э\ и Э% соответствуют сг-алгебры fti и %г наблюдаемых событий и ffi с $2, то будем говорить, что эксперимент Э2 более информативен, чем Э\. С другой стороны, если дано некоторое множество экспериментов {Эа, ие1} и (а е el) — соответствующие а-алгебры наблюдаемых событий, то множество {Эа, ае!} можно рассматривать как один составной эксперимент, если считать наблюдаемыми в этом эксперименте события из минимальной о-алгебры, содержащей все %а, oel. Такую минимальную о-алгебру условимся обозначать cr{ga, a el}. Ее существование вытекает из следующего предложения:
Пусть 2И — произвольный класс подмножеств Q. Всегда существует минимальная а-алгебра мноэюеств, содержащая 0И.
«11
АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
91
Действительно, всегда существует ст-алгебра, содержащая &'?. Таковой является, например, ст-алгебра всех подмножеств У. Рассмотрим пересечение всех ст-алгебр, содержащих 2ЭТ. Оно является ст-алгеброй, и притом, по построению, минимальной, содержащей
Минимальную ст-алгебру, содержащую класс множеств Ш, обозначают ст {2ЭТ} и называют а-алгеброй, порожденной классом 2ft.
В ряде случаев требуется установить, что некоторый класс событий содержит данную ст-алгебру. Следующий результат при этом часто бывает полезным.
Теорема 1. Если класс множеств 9Й содержит некоторую алгебру 51 и монотонен, т. е. если вместе с произвольной монотонно возрастающей (убывающей) последовательностью мно-
алгебру ст {91}.
Вероятность. Пусть @ — ст-алгебра всех наблюдаемых событий в данном множестве допустимых экспериментов. Вероятность Р(Л) события А, /1е@, характеризует связь между комплексом условий У и событиями из @, не зависящую от производимого эксперимента. Естественнонаучная интерпретация этой связи достаточно хорошо известна, и мы о ней не напоминаем. Аксиоматически понятие вероятности вводится следующим образом (А. Н. Колмогоров [2], [7]).
Определение. Вероятностью Р(•) называется числовая функция, определенная на @, обладающая следующими свойствами:
