Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
/?' (/) - iR" (Q = jR(f)=*j 5 eilu dF (u).
— oo
Для того, чтобы это определение имело смысл, т. е. чтобы функция ф il...tn(ai ... ап, Ъ\ ... bn) действительно была характеристической функцией совместного распределения 2dn случайных величин, необходимо и достаточно, чтобы функция К{а.\ ... ап, В\ ... Бп) была неотрицательно определенной квадратической формой своих аргументов. Как нетрудно увидеть,
К(аь ап, Ьп) = j Re z\R (h — tf) zh
где Z& = afe — ibk, k—l, ..., ti. С другой стороны,
— оо '-А = 1 ' '¦А=а1 '
Таким образом, фдействительно является характеристической функцией. Легко убедиться, что семейство распределений {Ftv...,tn}, соответствующих характеристическим функциям фудовлетворяет условиям согласованности (§ 1), так что оно определяет гауссов случайный процесс в широком смысле. При этом
Ml (t) = Mn (t) = 0, Mg (t) 1 (s) = МЛ (t) Л (s) = R' (t, s), m(t)4{s) = R"{t-s).
84
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
1ГЛ. I
Положим ?(/) = l(t) trj (t). Процесс ?(^) является векторным гауссовым процессом с комплексными компонентами. Имеем
Ml (0 = 0, М? (О С (s) = М [g (О Г (s) + Л (t) л* (s)] -
- (М [| (0 л* (s) + Л (О Г («)] = 2R(t-s)- 2iR" (t-s) = R(t - s).
Итак, l(t)—гауссов стационарный в широком смысле процесс с корреляционной матричной функцией R(t—s). ?g
Понятие стационарности в широком смысле может быть об* общено на случайные функции нескольких аргументов. Пусть ?(*) = (V(x)> • ••> ld{x))—векторная случайная функция в широком смысле, возможно с комплексными координатами, определенная для всех х е ^2т. Будем называть ее случайным полем. Случайное поле t,(x) назовем однородным, если
M? [х) = т — const, М (? (х) — rti) (? (у) — т)* — R(x — у),
где R{x) — непрерывная матричная функция. Ее называют корреляционной функцией однородного поля. Матричная функция R(x) неотрицательно определена. Это означает, что для любых d-мерных комплексных векторов zh, точек xh е 52m, k=\, . .. , п, и любого целого п
(*А-*/)*/> 0.
Теорема Бохнера—Хинчина легко обобщается на неотрицательно определенные функции аргумента х<=Ят. Так же как и теорему 3, можно доказать следующую теорему.
Теорема 4. Для того чтобы матричная функция R(x), х е $,d, была корреляционной функцией однородного поля, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление
R(x)= ^ ei(x, U) Р (du), (11)
ftd
где F(А) — матричнозначная комплексная счетно аддитивная функция множеств, определенная на борелевских множествах 01™, такая, что z*F(A)z :>¦ 0 для любого комплексного вектора z и любого множества А е9,!г. При этом Sp F(3Zm)<i оо.
Случайное поле t,(x) называют однородным и изотропным, если его корреляционная функция R(x) зависит только от длины вектора х. Таким образом, для однородного и изотропного случайного поля
М (? (х) — m) (? (у) — m)* = R (р), где р = р(х, у)—расстояние между точками х а у.
§ SI
ПРОЦЕССЫ, СТАЦИОНАРНЫЕ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 85
Найдем представление корреляционной функции однородного и изотропного поля. С этой целью рассмотрим выражение для корреляционной функции однородного поля
Rip)— ^ ei(x'u)F idu)
и проинтегрируем его по поверхности сферы Sp радиуса р. Меняя порядок интегрирования, получим
К(Р) =
2я 2 рш-‘ Я"* ^
Пусть f(x)—произвольная интегрируемая функция в Я"1, Ур — сфера радиуса р с центром в фиксированной точке. Тогда
^ f (12) X 2 от~1 ят I s j
d 5 f (x) dx1 ... dxm — ^ / (x) ds,
d p
где интеграл справа взят по поверхности Sp сферы Ур. Применим эту формулу к вычислению внутреннего интеграла в правой части формулы (12). Переходя к сферическим координатам в я-мерном пространстве (см. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчислений, т. 3, «Наука», М., стр. 484), приняв за <pi угол между векторами л: и и, получим
О Я Я 2 Я
^ е‘ <*• "W ... dxm = 55 • • ¦ SS ф'^т_1 sin"-2 ф! X
Vp 0 0 0 0
X Sinm~3 ф2 ... sin фт_2 dr d(fi ... dcpm-2 —
т-1
—о— Р я
2я
Гч S‘"'- cos Ф‘Г'П~1 sin"-2?! dr ?/ф,.
I 2 J 0 о
Далее,
I eir I и | cos <p, з;пт-2ф, dq>i = ^ ^ — 1 Ц-! COS ф].) 3;пт-2ф1 ^ __
k=0 о
с»
Z
*-0
€6
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
