Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. I
И
Р я
^ ~ \ ^ е%Г 1 U * C°S ф1Г/Я"1 sinm“2<iPl =
О О
оо
,2&+т|
(_ ц« Р— 1-Р Г(^)Г(У-)
/ ' " (2*)! (2ft+m) ^V2fe+7fi
А=0
г№)
Воспользуемся формулой удвоения в теории гамма-функции:
1 \ ViT Г (2k)
Г
(‘ + Т>
22*-1 Г (к) Получим
/=—----------; (-D
т _ ,
I2 fe!
2
ir(* + f+i)
___
= *.r(i?i)(1Ber)I/„(pui),
где /„(*)—функция Бесселя первого рода n-го порядка. Следовательно,
—
... /Ир|«|).
vp
Отсюда вытекает, что
Г —
a l»|/m-2 (р|»().
sp 2
В частности, рассматриваемый нами интеграл зависит от |«|. Введем положительный параметр К и положим
= Л>0.
Тогда последняя формула и формула (12) дают
т-2 л /т~2 ^
Я( р) = 2 2 r(f ) j—— rfgfr), (13)
о (Яр) 2
где g(M—монотонно возрастающая функция, g(—0) = 0 и g(+oo) = F(^m)=/?(0)<oo.
Мы получили, таким образом, следующую теорему.
ПРОЦЕССЫ. СТАЦИОНАРНЫЕ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
87
Теорема 5. Для того чтобы Я(р) (0 ^ р < оо) была корреляционной функцией однородного и изотропного случайного поля, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить с помощью формулы (13), где g(к)— ограниченная монотонно неубывающая функция.
При m = 2 формула (13) принимает следующий простой вид:
оо
Я(р) = \ /0(М dg (к),
(14)
о
а при т = 3
оо
О
(15)
ГЛАВА II
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Аксиомы теории вероятностей и основные определения
В настоящем параграфе вводится ряд основных понятий теории вероятностей и приводятся, в основном без доказательств, их наиболее важные свойства, непосредственно вытекающие из теории меры. Доказательства приводимых утверждений можно найти в учебниках по теории меры (см., например, А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин [1]).
События. Допустим, что при выполнении определенного комплекса условий У имеется возможность производить некоторые эксперименты. Назовем их допустимыми (относительно заданного комплекса условий У). Наблюдая результаты данного эксперимента, можно утверждать, что какие-то события в этом эксперименте осуществились, а иные не осуществились. В теории вероятностей каждый эксперимент полностью характеризуется этими событиями, т. е. непустым множеством событий,
о каждом из которых можно сказать, осуществилось ли оно в эксперименте или нет. Условимся называть соответствующие события наблюдаемыми (в данном эксперименте).
Для большей наглядности изложения целесообразно воспользоваться теоретико-множественной интерпретацией вводимых понятий и соотношений. В этой интерпретации исходят из некоторого множества Q и каждое событие, наблюдаемое в каком-либо допустимом эксперименте, отождествляется с некоторым подмножеством множества Q. При этом алгебраическим соотношениям и действиям над событиями соответствуют аналогичные соотношения и действия над множествами. Например, если из события А следует событие В (А си В), то множество А содержится во множестве В. Событию «или А, или В» соответствует сумма множеств А и В {A U В), совмещению событий А и В — пересечение множеств (А Л В), событию противоположному А (А) —дополнение к А в ?2, т. е. множество всех точек Я, не входящих в А. Если два события несовместимы, то соответствующие им множества не имеют общих точек.
АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
89
В свою очередь каждое подмножество ?2 называют событием, но оно не обязано быть наблюдаемым для какого-либо из рассматриваемых экспериментов.
Точки из ?2 называют элементарными событиями, само й — достоверным событием, так как оно соответствует событию, происходящему в любом эксперименте. Пустое подмножество ?2 называют невозможным событием.
Мы будем пользоваться еще следующими обозначениями и определениями:
U Аа — сумма множества событий Аа, перенумерованных
ael
с помощью индекса а, пробегающего множество I.
П Аа — совмещение множества событий Аа, где а прини-
ael
мает значения из I.
А\В — разность событий А и В (событие «А, но не В»), A/S.B — симметрическая разность событий А и В (событие «или А, или В, но не их совмещение»).
