Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Ly = ih (— cos ф д/дв -f- ctg 0 sin ф д/дф); | (3^
Lz = —ihdjd ф. J
Квадрат полного момента количества движения
= Lx -f- L2y + Zj (3 g*
запишем в виде ’ '
L2 =— Й2/—?-----------— Ain 0 —— \ -j-!----------— ]. (3 7>
I sin0 дв \ дв J sin2 0 ду* J 'd-')
Для гамильтониана
* = -^ + П|Н), (3.8)
где V — функция только радиального расстояния от начала Ко ординат, все три компоненты L, а следовательно, и L2, коммуТи' руют с Н:
[Я, L] = 0; [Я, L2] = 0.
Однако компоненты L не коммутируют друг с другом. С помо!цЬ1(^ выражения (3.4) находим, что
ГА*-» Ly] = ihLz, [Ly, Lz] = ihLx\ [Lz, Lx] = ihLy. (3,9)
Отсюда следует, что невозможно найти базис состояний, для Ко торых две или большее число компонент L одновременно ДИаГо' нализуются (см. § 2.1). Однако с помощью (3.9) можно показдТь' что L2 коммутирует с Lx, Lv и Lz отдельно. Таким образом, в ^уч’ шем случае можно диагонализовать L2 и одну из компонент . (обычно выбирают Lz, так как в сферической системе коордицат она имеет простой вид). Поэтому любую собственную ФУнКцИ10 энергии Н можно записать в виде
Ф('\ 0, ф) = Rni(r)Y[m(Q, ф),
где Rni — радиальная волновая функция, а У;т(0, ф)—сферцЧе_ ская гармоника. Разные радиальные функции, обладающие 0Д{1ИЬ{ и тем же значением I, отличаются разными квантовыми числам11 п. Функция Уim (0, ф) удовлетворяет уравнениям
L*Ylm (в, ф) = / (/ + 1) WY[m (0, Ф); (3.10)
LZY 1т (0. Ф) =mhYlm{Q, ф), (3.J
где I — положительное целое число, а т пробегает все целые чцсла
от —I до /. Краткая сводка свойств сферических гармоник дана
в п. 3.1.2.
Несмотря на то, что нельзя выбрать операторы Lx и Lv чтобы они были диагональными, они являются сохраняющим^^ величинами, т. t, коммутируют с Н. Их линейные комбинацИи
L±=Lx±iLy (3.12)
тоже коммутируют с Я и обладают следующими свойствами:
L+Yim (0, Ф) = P+(f, m)Yl<n+l (0, ф) для —1;] (3 ^
L+Yи (9, Ф) = 0;
L-Yim (9, ф) = Р- (А т) Yi.m-1 (0, ф) Для — I + 1< т < I; j (3 И) L_Fz,_z(0, Ф) = 0, I
где р+(1, т) и р~(1, т)—численные множители, которые будут вычислены после того, как равенства (3.13) и (3.14) будут доказаны (ом. п. 3.2.2). Предположим, что они уже доказаны с помощью системы уравнений (3.5) и формул для Угт(0, ф). Используем эти уравнения для доказательства того, что собственные функции
УпШ = Rnl(r)Ylm(Q, Ф)
с одинаковыми п и I, но разными т соответствуют одному и тому же собственному значению энергии. Разумеется, это же можно получить непосредственно из решения уравнения Шредингера с гамильтонианом (3.8) для частного случая (например, для атома водорода).
Предположим, что выполняется уравнение Шредингера H\pntm = = Etyn[m, и применим Я к функции фл/т:
HL+tynlm = L+Htynlm = EL+yntm.
Отсюда следует, что есть собственная функция Н, соответ-
ствующая тому же собственному значению Е, что и фп;т. Так как L+ не действует на радиальную часть волновой функции, то па существу L+tynim не отличается от ф„г> т+1. Следовательно, мы уже показали, что = F%Lm+ь
Повторение этой операции доказывает, что все собственные функции с одними и теми же значениями л и ! и любыми т в интервале от —I до + / соответствуют одному и тому же значению энергии. Таким образом, для сферически-симметричного гамильтониана каждый энергетический уровень должен иметь (2Z-Некратное вырождение, где I есть квантовое число полного орбитального момента количества движения. Говорят, что собственные состояния образуют мультиплеты уровней. Для определенных потенциалов V (г) может получиться так, что два мультиплета с разными I (или даже с одним и тем же I) будут иметь одинаковую энергию. Это называется случайным вырождением, так как вырождение не является здесь результатом сохранения момента количества движения.
3.1.2. Свойства сферических гармоник. Зависимость У;т от 0 и ф
можно разделить:
Ylm (0. Ф) = ®tm (0) фт (ф), (3-15)
где
Фт (Ф) = (2л)-1/* ехр (i/пф),
24
а
Здесь т > 0. Для т < 0
0/т (9) = ( 1)т 0/, —т (9)>
где РТ (cos0)—присоединенная функция Лежандра (см. п. 2.5.17 из 163]).
Численные коэффициенты обеспечивают нормировку 0 и Ф:
2л *
J Фт' (ф) (ф) ^ф = Ьщ'т >
0
J dQ sin 00/'rn (0) 0/т (0) = б/'/ = 6 Г/.
о
