Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Если параметры меняются непрерывно, то группа симметрии называется непрерывной: пример — группа вращений.
2.2.3. Инфинитезимальные преобразования и интегралы движения. Если Uа —оператор симметрии, соответствующий преобразованию, не затрагивающему время, то Ua коммутирует с га м'ильтонианом
Ua Н = HUa (2.43)
и является интегралом движения системы. Однако оператор U& нельзя считать наблюдаемой, так как он не является эрмитовым.. Более того, как мы уже видели, этот оператор унитарен: =
= 1. Тем не менее из группы операторов симметрии Ua, зависящих от одного непрерывного параметра (т. е. происходящих иа непрерывной группы преобразований симметрии), можно получить соответствующую эрмитову наблюдаемую. Если U а зависит от п действительных параметров а-, .., ап, то можно получить п наблюдаемых.
Предположим, что а = 0 соответствует тождественному преобразованию. Применив соответствующий оператор к волновым функциям, получим U0—\, где 1 означает единичный оператор. Метод получения наблюдаемых состоит в рассмотрении инфини-тезимальных значений параметра: мы ожидаем, что будет отличаться на бесконечно малую величину от \|з и U также будет инфинитезимально отличаться от единичного оператора. Запишем
U6a = 1 + i8aG + О (6а2). (2.44)
* Так как волновые функции -ф и exp(ia)i|) определяют одно и то же состояние, обе части уравнения (2.42) могут отличаться на фазовый множитель. Единственный такой случай, с которым мы встретимся, — преобразование поворота волновых функций для полуцелого спина, для которого это заведомо имеет место. В дальнейшем мы будем считать, что равенство (2.42) справедливо ва всех случаях.
26
Здесь G — оператор, а мнимая единица i введена для удобства. Символом О (6а2) обозначены члены более высокого порядка по 6а, которыми далее будем пренебрегать. Теперь учтем условие унитарности оператора Uea. Сначала получим U6a = 1—i6aG+, Подставив это выражение в равенство UfaUба=1, получим (1 — i 6aG+) (1 + i 8aG) = 1.
Таким образом,
1 — i ба (G+ — G) = 1
н
G+ = G. (2.45)
Итак, оператор G является эрмитовым. Он называется генератором преобразования Ua .
Так как Ua коммутирует с Я, то и G коммутирует с Я:
HG = GH. (2.46)
В соответствии с преобразованием симметрии Та эрмитов оператор G коммутирует с гамильтонианом, следовательно, он постоянен во времени. Это квантовомеханический аналог классиче-
ской сохраняющейся величины. Далее увидим, что в специальных случаях наблюдаемая G есть обычная наблюдаемая.
В случае дискретной симметрии, такой, как четность, приведенные выше аргументы неприменимы. Но этот унитарный оператор Up удовлетворяет соотношению
U2p= 1, (2.47)
которое следует из условия, что, если операцию четности (2.23) выполнить дважды, получится тождественное преобразование, т. е. Р2— 1. Однако Up является также унитарным оператором
UtUP = 1, (2.48)
и из равенств (2.47) и (2.48) следует, что UP = Up .
Таким образом, в этом случае оператор UP является эрмитовым и его можно интерпретировать как наблюдаемую. Можно характеризовать состояния и собственными значениями UP.
Подобный ход рассуждений применим к любому преобразованию симметрии, квадрат которого является тождественным преобразованием. Для примера можно привести преобразования зарядового сопряжения, G-четиости, операцию обмена двух тождественных частиц (симметрия относительно перестановок).
;Ниже приведены некоторые группы преобразований симметрии и соответствующие этим группам сохраняющиеся генераторы G:
Преобразования симметрии Сохраняющийся генератор
Пространственные трансляции Импульс
Вращения Момент количества движения
Пространственная инверсия Четность
Трансляция по времени Гамильтониан (полная энер-
гия)
27
Три первых преобразования рассмотрены соответственно & § 2.3 и в гл. 3 и 5. Последнее преобразование включает в себя координату времени, которую мы раньше все время исключали. Покажем, что в этом частном случае применимы предыдущие методы рассмотрения.
Из инвариантности относительно трансляций по времени следует, что описание системы не зависит от выбора начала отсчета времени — начала измерения. Преобразование от одного начала отсчета к другому есть t-*~t' = t+т. Соответствующий унитарный оператор определяется равенством
Ux Ф(г, t + т) = ф(г, t). (2.49)
С обеих сторон равенства использована одна и та же координата положения, чтобы подчеркнуть, что она одинакова. Введя t' = t+т, получим
