Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
^фа;т)= ^тт' Фа/т)'
Далее из инвариантности относительно вращения следует, что выражение (фь^п, Sajm) не должно зависеть от т. Если говорить полуклассическим языком, то т описывает ориентацию вектора момента количества движения относительно соответственно выбранного направления г, но инвариантность относительно вращения запрещает любую зависимость вероятности перехода I (фь,
5 <р0) |2 от этой ориентации.
Формально это можно доказать, заметив, что операторы J± коммутируют с S. Так, в частности, J+S = S+J. Взяв матричный элемент этого уравнения между собственными состояниями 4>bjm — Фд/.m—1 момента количества движения, найдем
(ф Ытг = (ф*/ш» ^+Фв/,т—l)-
Так как Jl = то
Ф bimy ^фа/,т—l) = (ф*/‘т> ^+Фа/,т—l)
или с помощью (3.47) получим
[(/ + tn) (/- т + l)]v* (ф4/. т_„ —!) =
= 1Ц — т + 1) (/ + т)]'и (ф4/т, 5фа/т).
Отсюда видно, что матричный элемент имеет одинаковые значения для разных т при одном и том же /. Запишем это в общем :виде:
5-Фatm) = б/'/ §т'т S^. (3.61)
Ранее мы уже предположили, что состояния а и Ь есть собственные состояния полного момента количества движения. Однако начальное состояние и состояние, детектируемое в эксперименте по рассеянию, не являются собственными состояниями полного момента количества движения. Как правило, они представляют собой собственные состояния импульса (плоские волны) .
Процесс, связывающий состояния типа плоских волн с собственными состояниями момента количества движения и по этой причине использующий следствия из инвариантности относительно вращения в рассеянии и реакциях, называется анализом по парциальным волнам. Он будет рассмотрен в следующей главе. Для этого потребуется описание действия конечного поворота R на собственное состояние хрjm момента количества движения.
§ 3.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТОВ
Выше мы ввели понятие унитарных операторов U(R), представляющих собой действие конечного поворота R на векторы состояния системы. Теперь рассмотрим подробно, как этот оператор действует на собственные состояния операторов Я и /г.
3.4.1. Матричные элементы конечных поворотов. Первый этап заключается в том, чтобы найти для описания наиболее общих поворотов координат подходящий набор параметров. Эта< проблема ничем не отличается от описания с помощью углов Эйлера движения твердого тела с одной жестко закрепленной точкой.
Используем вращения для того, чтобы описать преобразование поворота волновой функции с активной точки зрения. По аналогии с вращением твердою тела этот процесс можно предста-
47
вить наглядно: будем считать, что волновая функция описывает пространство, заполненное твердым телом с переменной плотностью. Активный поворот волновой функции соответствует повороту твердого тела в пространстве вокруг начала координат. Представим себе множество систем декартовых координат, расположенных в этом теле, и соответствующее ему множество систем, расположенных в пространстве. При положительном повороте вокруг оси Ох ось Оу будет двигаться по направлению к оси Oz. Аналогично определяется положительный поворот вокруг двух других осей.
Рис. 3.2. Последовательность поворотов, с помощью которых осуществляется общий поворот системы координат с углами Эйлера
(а, Р, V)
Поворот на углы Эйлера а, р, у есть преобразование из системы координат 2 (рис. 3.2, а) в систему 2/ (см. рис. 3.2, б—г). Этот поворот определяется положительным поворотом:
1) на угол а вокруг оси г, переводящим систему 2(л:, у, г) в
2' (*', у', г');
2) на угол р вокруг оси у', переводящим 2' (х', у , г') в
2 "(х",у",г"У,
3) на угол у вокруг оси г", переводящим 2"(х", у", г') в 2^(л^, У/, zf).
Существуют и другие определения углов Эйлера, но приведенное выше универсально именно для квантовой механики. Углы а, р, «у являются теми тремя параметрами, которые характеризу-
ют окончательную ориентацию связанной с телом системы координат 2/ относительно осей, связанных, в свою очередь, с пространством. Обозначим поворот на эти углы R(а, р, у). Данные-углы меняются в пределах 0г?аг?2я; О^р^я; Если
Р = 0, то общий поворот является поворотом вокруг ИСХОДНОЙ ОСИ Z на угол а+у. В этом случае имеет значение только сумма углов-о и у.
Оператор, соответствующий повороту R (а, р, ¦у), задается выражением
U (R (а, р, V)) = U (Zy) U (Yd U (Za) =
= exp (— iJzy) exp (— lV^p) exp (— iJza),, (3.62)»
где штрих означает, что второй и третий повороты относятся к повернутым системам координат.
Второй этап расчета заключается в преобразовании формулы; таким образом, чтобы можно было отнести все величины к исходной системе осей (без штрихов), связанной с пространством. Проделаем это следующим образом.
