Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Ъа1т(г, 0. Ф — «) = ехр(— ima)$nlm(rt 0, Ф).
Уравнение (3.51) принимает теперь вид
и lZ<*) tynim (г, 0, ф) = exp (— i та) фп[т (г, 0, Ф). (3.52)
Это можно также получить с помощью формулы (3.50). Таким образам, для собственного состояния Jz поворот относительно оси z означает умножение вектора состояния на фазовый множитель, т. е. \pnim — собственное состояние оператора U(Za ) с собственным значением exp (—iта), имеющим единичный модуль в соответствии с тем фактором, что U(Za ) является унитарным оператором.
Если уравнение (3.52) выполняется для состояния гр, можно сказать, что г|) есть собственное состояние Jz с собственным значением т. (В гл. 4 еще представится случай использовать этот более общий метод для характеристики собственного состояния момента количества движения.)
44
Все сказанное до сих пор относилось к одной частице. Если частиц несколько, то волновая функция содержит координаты всех этих частиц. При повороте системы координат координаты всех частиц также испытывают вращение. Ясно, что уравнение (3.46), определяющее оператор поворота, теперь надо заменить на
U (Za) Ф ЧУ&, . . .) =^{Za\xyyyzy), Z„‘ fe/232), . . .).
Расчет, который привел раньше к формуле (3.49), дает
f/(Za) = l-(ia/ft)(Zi1) + Zi2)+ . . .)+0(а2), (3.53)
где Игп) означает z-компоненту момента количества движения частицы с номером я:
Lin) = — i Н (хпд/дуп — упд/дхп).
Таким образом, теперь генератор поворота вокруг оси z есть сумма z-компонент момента количества движения или, другими словами, является z-компонентой полного момента количества движения.
В случае одной частицы со спином оператор вращения для поворота Z есть
U (Za) = exp[—\a(Lz +Sz)/h], (3.54)
а для поворота Y
U(Yft) = exp[—i$(Ly + Sy)/h]. (3.55)
Так как операторы L и S коммутируют друг с другом, эти выражения можно переписать в следующем виде:
U (Za) = exp (— i aLjh) exp (— i aSjK);
U (Kp) = exp (— ipLy/h) exp (— ipS^/Й),
Эти выражения становятся понятными, если обратить внимание на следующий факт: чтобы выделить из заданного состояния состояние, правильно преобразующееся при поворотах, мы должны подвергать повороту как пространственные, так и спиновые компоненты вектора состояния (см. § 3.4).
3.3.2. Инвариантность относительно вращения и закон сохранения момента количества движения. В элементарной квантовой механике можно проверить, остается ли оператор гамильтона инвариантным относительно вращения. В ядерной физике или физике элементарных частиц проблема часто возникает при нахождении гамильтониана или оператора рассеяния из экспериментальных данных. Поэтому предположим, что инвариантность относительно вращения существует, и посмотрим, какие ограничения она накладывает, например, на оператор рассеяния. Проиллюстрируем коротко оба эти подхода.
Инвариантность гамильтониана Н относительно вращений-выражается соо:ношением /
U (R) И = HU (R), (3.56)
где R— любой поворот системы координат. Выбирая в качестве R инфинитезимальный поворот вокруг оси г, можно показать, что JZH=HJZ аналогично JXH = HJX, JyH = HJv. Объединяя эти уравнения, имеем
[J, Н] = JH — #J = 0. (3,57)
Следовательно, можно сказать, что инвариантность относительно вращения требует, чтобы три оператора J момента количества движения коммутировали с гамильтонианом Н. Тогда все собственные состояния Н можно считать собственными состояниями J2 и Jz.
Отсюда вытекают все обычные следствия, связанные с моментом количества движения. Отметим, что J здесь является суммой орбитальных моментов количества движения и спинов всех частиц системы.
Теперь рассмотрим процесс рассеяния или реакции. Согласно п.2.1.3, из соотношения (3.56) следует, что оператор U(R) коммутируете оператором рассеяния S:
U(R)S = SU(R). (3.58)
Можно считать это основным постулатом инвариантности относительно вращений. Аналогично соотношение (3.58) требует, чтобы
JS = SJ, (3.59)
следовательно,
J2S = SJ2. (3.60)
Рассмотрим определенную реакцию, обозначив ее а-*-Ь. Если начальное состояние есть фа, а конечное состояние фь, то амплитуда этого процесса задается элементом S-матрицы (фь, Sфа).
Какие требования налагает инвариантность относительно вращения на элемент S-матрицы? Для матричного элемента Фь—Фа выражения (3.59) получим (фь, Л5фа) = (фь, 5Лфа).
Если состояния фа и фь являются собственными состояниями J2 и У, и имеют различные полные моменты количества движения или их проекции на ось г, то можно сделать вывод, что амплитуда процесса а-^Ь равна нулю. Зафиксируем наличие этих собственных значений, представив состояния в виде фазт-Тогда
