Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Ada} • ]uU> -'f>
Ф • -I dd) •
• \ss>
\su) ¦ -\sd>
• •
Рис. 11.2. Размещение состояний кварка — антикварка на приведенной весовой диаграмме 3X3*
282
Таблица 11.2 Кварковая структура псевдоскалярных и векторных мезонов
Псевдоскаляр Вектор Кварковая структура
к+ к*+ 1 us)
к0 к*° \ds)_
л+ Р+ ---I ud> _
я° Р° 2“‘1/'2 (|ии)---|dd))
л~ Jdu) _
Т)° Ф8 6“‘1/'2 (---\tlu)---\dd) + 2 |ss>)
а:» к*° -|sd)
к- к*~ \su)
т)0' “1 3~1/2 (|uu)+|dd>+|ss))
жение В). Тогда состояние с /=1, /3 = 0 получается из —[ud> состояния с 1=1, /з= + 1 при помощи оператора сдвига
(H. + IL) (- I ud)) = - | dd) + | ш> с учетом нормировки
| /= 1, /3 = 0> = 2~'/г ( | ««>— | <Й», (11.1)
Состояние в начале координат с U= 1, {/з = 0 получается в результате применения понижающего оператора tZ-спина к состоянию |rfs>
| U = 1, U3 = 0> = 2~1/г (— | сЙ> + | sl>).
Тогда из уравнения (10.35), связывающего собственные состояния /- и {/-спина в октете, находим
| / = 0, /з = 0> = 6“‘Л(— | ««>— | dd} + 2 | s's». (11.2)
В результате оставшееся в начале координат состояние, ортогональное к (11.1) и (11.2), должно быть 5{/(3)-синглетом:
| 1, Y = / = /3 = 0> = 3~1,г ( | ««>+ | dd)+ | ss>), (11,3)
Если взаимодействие qq полностью симметрично относительно .трех видов кварков, то все девять связанных состояний должны быть вырождены по энергии. Однако можно ожидать, что взаимодействие qq зависит от характера супермультиплета SU(3), т. е. от того, имеем ли мы 8 или 1. В этом случае массы связанных состояний для октета и синглета будут различаться.
Вернемся теперь к нарушению SU (3) -симметрии в этой модели. Простая и естественная гипотеза состоит в том, что расщепление по массе, среди наблюдаемых мезонов обусловлено разницей масс между синглетным кварком s и изодублетом (и, d). Мы хотим сохранить симметрию по изоспину, поэтому
283
удержим массу ти равной m<j, но в то же время положим ms= = М + т, где M=mu=md.
Предположим, что волновые функции связанного состояния вычислены в пределе т = О, когда симметрия выполняется, и нечувствительны к изменению массы. Вычисляя матричные элементы возмущенного гамильтониана по отношению к приведенным в табл. 11.2 состояниям, получаем выражения для масс мезонов:
т (К*) = т(К) = 2М + т — Ев (8); т (р) = 2М — Ев (8);
т (Фв) = (-f + т) 2М + Т{Ш + Щ ~ Ев (8) =
= 2M + -j-m — Ев(8); т (со,) = (~ + ^ 2М+±(2М + 2т)-Ев{\) = 2М +
+ -ут — Ев{ 1).
В принятых здесь обозначениях 2М — ?в(п)—энергия связи в супермультиплете п в предельном случае полной симметрии. Расщепление масс, как мы видим, дается выражением
т =¦т(К*) — т(р),
так что, используя экспериментальные данные, получаем т— = 110 Мэе. Нетрудно найти также, что
4 т [К*) = т (р) + 3 т (ф8). (11.4)
Это и есть формула Гелл-Мана — Окубо. Однако теперь имеется отличный от нуля матричный элемент в массовом члене гамильтониана qq между состояниями фв и cc»i:
<Фв I Н | ©!> = 18 */г{— 2М — 2М + 2 (2М + 2т)} & = — 2 • 2,/ш Cfml3.
Здесь С/—интеграл перекрытия координатно-спиновых волновых функций системы qq. Его можно получить лишь с помощью более детальной модели. Такую цель мы ставить себе не будем. Однако если величина J известна, то с помощью формул п. 10.5.4 можно вычислить угол перемешивания.
Если потенциал qq обладает упомянутой выше максимальной симметрией, то
Ев(8) = Ев(1). (П.5)
В этом случае можно ожидать, что физическими состояниями являются не фв и cc»i из таблицы, а состояния, в которые кварки с различными массами входят по отдельности. Таким образом, приходим к формулам
284
| ф> = [ ss); (11.6a>
| (o> = 2“‘/a ( | m) + | dd)) (11.66>
с массами
m (ф) = 2M + 2m— Ев; /гс((о) = 2М— EB ¦
Следовательно, в этом частном случае предсказаны следующие соотношения:
/гс(со) =/гс (р); (11.7а>
/гс (со) + т (<р) = 2т (К*). (11.76)
Они выполняются экспериментально с погрешностью 1%, что определяет предел точности равенства (11.5). Если выразить состояния (11.6) через состояния [фв> и | coj >, то соответствующий угол, смешивания (называемый в этом случае идеальным углом смешивания) выражается формулой
