Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
существует конечного конфигурационного объема постоянной потенциальной энергии между этими границами или на них. И вообще мы можем, с упомянутым ограничением, подставить 1
е*9 dzq вместо A? dqx . .. dqn в 7г-кратном интеграле, сводя его к простому интегралу, если пределы выражены через потенциальную энергию и другой множитель под знаком интеграла является функцией только потенциальной энергии или потенциальной энергии и величин, остающихся постоянными при интегрировании.
*) Если бы V могло обращаться в" бесконечность для конечных значений &д> то V также, очевидно, обращалось бы в бесконечность для конечных значений s.
98
ГЛ. VIII. О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
т. е. Vp пропорционально г2. Мы можем, следовательно, по-
ложить
У —С* 2 pVp-.HL Г Д 1
Кр —Оср, е — 2 !
(286)
где (7 — постоянная, по крайней мере для фиксированных значений внутренних координат.
Для определения этой постоянной рассмотрим случай канонического распределения, для которого
где
г ^р~Вр
е* = (2тив) *.
Подставляя это значение, а также значение е*р из (286), мы получим
!ф-?еГЧ = (2.в)?,
О
7cSe^QfT'd&)=12^'
о
-2ст(т)=<2”)"-
с-_я?_.
г(т*+0
Определив таким образом значение константы С, мы можем подставить его в общее выражение (283) и получить следующие совершенно общие выражения:
(287)
(2rtSp)
гО-м) ¦
(2u)2sp '
(4") '
(288)
(289)
*) Весьма сходные выражения для Vц, еF и ет можно найти этим же самым способом для случая, рассмотренного в предыдущих примечаниях (см. стр. 62, 79, 83 и 86), где sq является квадратичной
ГЛ. VIII. О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
99
Заметим, что значения Vp и <рр для какой-либо заданной г,} не зависят от конфигурации и даже от природы рассматриваемой системы, за исключением ее числа степеней свободы.
Возвращаясь к каноническому ансамблю, мы можем выразить вероятность того, что кинетическая энергия системы с заданной конфигурацией, но во всех остальных отношениях не определенной, лежит в заданных границах любой стороной следующего уравнения:
Ь-*Р±±Р 1 с -5* /е N--1 \
е ’ (290)
Поскольку это выражение не зависит от координат, оно представляет также вероятность того, что кинетическая энергия какой-либо произвольной системы канонического ансамбля лежит в тех же границах. Форма последнего интеграла показывает также, что вероятность того, что отношение кинетической энергии к модулю находится в данных границах, не зависит и от значения модуля, определяясь целиком числом степеней свободы системы и граничными значениями отношения.
Среднее значение любой функции кинетической энергии,, взятое по всему ансамблю или по какой-либо частной конфи-
функцией д, а не зависит от д. В этом случае
\ п п
у _ f Л (e(j sa)~
9 U^rfln + iy
С4-+0
*-Qj
1 72 ™_t (2я)~ (г„ — s„)2
а о '
Г(п + 1) ’
i
-Р = с ^ Y <2*)"
Г («)
98
ГЛ. VIII. О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
т. е. Vp пропорционально з2. Мы можем, следовательно, положить
п
(286)
Vp=C*l,
где С — постоянная, по крайней мере для фиксированных значений внутренних координат.
Для определения этой постоянной рассмотрим случай канонического распределения, для которого
1-,
где
е« = (2тсв) *.
Подставляя это значение, а также значение е*р из (286), мы получим
О
Fc^'“(r)?"‘4r)=(2”>"'
о
-^Сг(|-)=(2^,
п
г (2«)2 г(т”+0’
Определив таким образом значение константы С, мы можем подставить его в общее выражение (283) и получить следующие совершенно общие выражения:
(287)
^Р=
J2nsp)
,<?„ _ (2*) Ер
2.5-’“ 1 *)
в'**
(т”)
(288)
(289)
*) Весьма сходные выражения для Vqt V и е* можно найти этим же самым способом для случая, рассмотренного в предыдущих
примечаниях (см. стр. 62, 79, 83 и 86), где sq является квадратичной
ГЛ, VIII. О НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ 99
Заметим, что значения Vp и <рр для какой-либо заданной 8р не зависят от конфигурации и даже от природы рассматриваемой системы, за исключением ее числа степеней свободы.
Возвращаясь к каноническому ансамблю, мы можем выразить вероятность того, что кинетическая энергия системы с заданной конфигурацией, но во всех остальных отношениях не определенной, лежит в заданных границах любой стороной следующего уравнения:
