Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
или, поскольку, по (218),
Ф Ф й2—- « __ ? р 0
то
3^ (® — е)Л + (з — e)h г = г (з — e)h — А (г — s)h'1 0* g ,
(^F1 = в* A (s — s)h + А (Г-Тр 0* * . (231)
Точно таким же способом мы можем получить для потенциальной энергии
(S«- ea)* = sl
•q *af —
Кроме ТОГО,
что, вместе с
в —sa - n9,
дает
<8 — s„)* = + 08 (S — Sa)A_1 = п QlQ + вг 0:
следовательно,
/8- с у>_ Г(и+Д)0>
( о) Г(п)
гл. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ
85
Применяя последовательно (231), получим
(.-.)• = /)*,
(е-ё)«==/У1+3(Дз~)»,
(е - 7у = Z>4I +10 DtD%
(г —Г)9 Z)67 + 15?>IZ^s + lO (Z)2!)’ +15 (Dly,
где D представляет оператор Подобные же выраже-
ния, относящиеся к потенциальной энергии, могут быть выведены из (232).
Для кинетической энергии мы можем написать подобные же уравнения, в которых средние могут быть взяты либо для отдельной конфигурации, либо для всего ансамбля. Но так как
_п
2' ’
общая формула сводится к
Т (v- (233>
ИЛИ
(Sp — 8p)*+l 2в d (6р Gp)h
п dS с*
V *
Но так как тождественно
(Sp - Sр)° ^ ^ (Sp Sp)1_____Q
то значение соответствующего выражения для любого показателя будет независимо от в, и формула сводится к
36 гл. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ
следовательно,
Очевидно, что если <!> или е даны в виде функций 0, вое «средние типа eh или (з — e)h этим определяются. Точно так же, если или eq даны в виде функций 0, то все средние типа или (зq — eq)h будут определены. Но
Следовательно, если какая-либо из величин tyq9 е, eq известна в виде функции 0 и п также известно, все средние какого-либо из указанных видов также будут определены в виде функций той же переменной. Во всяком случае, все -средние типа
известны только в функции п и имеют одно и то же значение «независимо от того, взяты ли они для всего ансамбля или огра-
*) В случае, рассмотренном в предыдущих примечаниях, мы легко .получаем
(Sfl — bq)h = (SP ®р)Л
11
Для полной энергии в этом случае имеем
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ g?
ничены какой-либо частной конфигурацией. Если мы дифференцируем уравнение
все ф___ в
^ ^ е w dpx... dqn = 1 (236)
фазы
по аг и умножим на 0, то получим
Дифференцируя вторично по alt по аг и по 9, получим
ф_е
*¦¦¦¦*¦-»¦ <2з8>
дЦ дЧ
+
дахда% Ьахдаг
(239>
+ С^--^)(-5-^-4§^)] (МО)
Кратные интегралы в последних четырех уравнениях представляют собой средние значения стоящих в скобках выражений, которые мы можем поэтому положить равными нулю. Первое уравнение дает
. жНil--3” <241)
как уже получено выше. При помощи (191) и этого соотно-
шения мы получим из других уравнений
(S-Щ)=е (§¦-©• М
(Л-Л)(Л-^)=в(-^-?^.)- _
/ал, дА1\_ (дА2 дАг\
daz да2 ) dat b<xv J* (243>
(A _T)(:_Й = Q2 ¦ ¦ ^-2t_ = Q2 ^
\AX Ai) \r e) ® dat •
*) По (112). (Прим. к нем. пер. Е. Zermelo.)
ГЛ. VII. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ
Мы можем добавить для сравнения уравнение (205), которое можно вывести из (236) двукратным дифференцированием по 0:
Если ф или з известны в виде функций 0, а19 а2,..то (s — г)2 можно получить дифференцированием в виде функции тех же переменных. Если же ф, или Лг, или yj известны в виде функций 0, ai9 а2, то (Ах — Лг) (s — s) можно получить
дифференцированием. Но (At — AJ* и {Ах —А1)(А2 —А2) невозможно получить каким-либо подобным образом. Мы
видели, что (з — s)2 является, вообще говоря, исчезающей величиной для весьма больших значений п, которое гмы можем рассматривать, как неявно содержащееся в 0 в качестве делителя. То же самое справедливо для
{А1 — .4^(8 — г). Повидимому, мы не можем утверждать то же
гампп о (А.— А.)2 или (А. — АЛ-(А* — АЛ. так как « может
так называемых упругостей. Первое выражение представляет собой упругость, измеренную при условии, по которому при изменении ах внутренние координаты q19 ..qn все остаются -фиксированными. Последнее выражение представляет собой упругость, измеренную при условии, что с изменением ах ансамбль остается распределенным канонически, с тем же модулем. Это соответствует в физике упругости, измеренной при условии постоянства температуры. Очевидно, что первая больше последней и даже может быть весьма значительно большей.
