Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
Что касается математической теории этих движений, то я уже указал граничные условия для внутренней поверхности раздела жидкости. Они состоят в том, что давление на обеих сторонах поверхности должны быть одинаковы так же, как и компоненты скорости, перпендикулярные к поверхности раздела. Так как движение повсюду внутри несжимаемой жидкости, частицы которой не имеют вращательного движения, вполне определено, если дано движение всех границ и прерывности внутри ее, то в случае неподвижности граничных стенок жидкости обыкновенно все сводится к изучению движения поверхности раздела и изменений прерывности на ней.
Такую поверхность раздела можно математически трактовать со-
О прерывном движении жидкости
45
вершенно так, как если бы она была вихревой поверхностью, т. е. как если бы она была непрерывно покрыта вихревыми нитями с бесконечно малой массой, но с конечным моментом вращения. На всяком элементе такой поверхности найдется такое направление, в котором тангенциальные слагающие скоростей одинаковы. Оно совпадает с направлением вихревых нитей в этой точке. Момент этих нитей нужно положить пропорциональным разности между перпендикулярными с ним компонентами касательной скорости на обеих сторонах поверхности 36).
Существование таких вихревых нитей в случае идеальной жидкости без трения есть математическая фикция, облегчающая интегрирование. В действительной, подверженной трению жидкости эта фикция быстро становится действительностью, так как благодаря трению пограничные частицы приходят во вращательное движение; вследствие этого там образуются вихревые нити с конечной постепенно возрастающей массой, между тем как прерывность движения при этом выравнивается.
Движение вихревой поверхности и лежащих на ней вихревых нитей определяется по правилам, установленным мною в моей работе о вихревых движениях. Математические трудности этой задачи можно преодолеть, разумеется, лишь в немногих, более простых случаях. Но во многих других случаях можно, по крайней мере, пользуясь указанным принципом, заключать о направлении наступающего изменения.
В особенности следует упомянуть, что по закону, выведенному для вихревых движений, нити, а с ними и вихревые поверхности внутри жидкости без трения не могут ни возникать, ни исчезать, и что, наоборот, каждая вихревая нить должна сохранить неизменно тот же момент вращения; далее, что вихревые нити переносятся вдоль самой вихревой поверхности со скоростью, равной среднему арифметическому скоростей, имеющих место на обеих сторонах поверхности 36). Отсюда следует, что поверхность раздела может удлиняться всегда только в том направлении, куда направлено более быстрое из обоих соприкасающихся на ней течений.
В дальнейшем изложении я старался подыскать такие примеры поверхностей раздела, неизменно сохраняющихся в стационарных течениях, при которых интеграция выполнима, чтобы таким образом проверить, доставляет ли теория формы течения, которые соответствуют опыту лучше, чем если оставлять без внимания прерывность движения. Если поверхность раздела, отделяющая покоящуюся жидкость от
46
О прерывном движении жидкости
движущейся, должна оставаться стационарной, то вдоль ее давление в движущемся слое должно быть то же, как в покоящемся; отсюда следует, что касательная скорость жидких частиц на всем протяжении поверхности должна быть постоянной 41) так же, как и плотность воображаемых вихревых нитей. Начало и конец такой поверхности могут лежать только на стенке сосуда или в бесконечности. В первом случае они должны касаться стенки сосуда, раз допускать, что кривизна ее здесь непрерывна, так как компоненты скорости, нормальные к стенке сосуда, должны равняться нулю.
Стационарные формы поверхностей раздела отличаются, впрочем, как на это указывает опыт в полном согласии с теорией, чрезвычайной наклонностью к изменчивости при самых незначительных возмущениях, так что по своему характеру они в некотором отношении ведут себя подобно телам, находящимся в неустойчивом равновесии. Поразительная чувствительность цилиндрической струи воздуха, насыщенного дымом, к звуку, описана уже Тиндалем 42); я сам удостоверился в том же. Это, очевидно, свойство поверхности раздела, которое играет в высшей степени важную роль при вдувании воздуха в трубы.
Теория указывает, что если образуется какая-нибудь неправильность на поверхности стационарной струи, она в остальных частях должна привести к распространяющемуся все далее спиралеобразному свертыванию соответственной части поверхности (распространяющемуся по струе) 43).
Это стремление к спиралеобразному свертыванию при всяком возмущении легко, между прочим, можно заметить на наблюдаемых струях. По теории призматическая или цилиндрическая струя могла бы быть бесконечно длинной; в действительности же такой струи получить нельзя, так как в столь подвижном элементе как воздух, никогда невозможно устранить совершенно возмущающие влияния.
Легко убедиться в том, что такая бесконечно длинная цилиндрическая струя, вытекающая из трубы с соответственным поперечным сечением в покоящуюся внешнюю жидкость и состоящая из жидкости, которая движется повсюду параллельно ее оси с равномерной скоростью, — удовлетворяет условиям стационарного состояния 43а).
