Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
При прямолинейных вихревых нитях введение бесконечно малого поперечного сечения не приводит нас к недопустимым следствиям, потому что отдельная нить не имеет движущей силы относительно самой себя, а передвигается лишь под влиянием остальных имеющихся нитей. Иначе обстоит дело с искривленными нитями.
§ 6. Кольцеобразные вихревые нити
Пусть в жидкой массе, простирающейся в бесконечность, существуют лишь круговые вихревые нити, плоскости которых перпендикулярны к оси г и центры лежат на этой оси, так что вокруг нее все симметрично. Преобразуем координаты, полагая
x = xcoss, a = gcose,
у = Х sin?, b = g sine,
г = г, с = с.
Скорость вращения а по предположению есть функция лишь х и г или д и с, а ось вращения везде перпендикулярна к х (или д) и оси г 26).
34
Об интегралах уравнений гидродинамики
Отсюда прямоугольные компоненты вращения в точке с координатами д, е и с — суть
? =—сг sine, ту = сг cose, ( = 0.
В уравнениях (5а) будем иметь:
Г2 = (z - с)2 + х2 +д2 - 2Х9 cos(e - е),
В обоих интегралах углы е и е входят только в соединении (е — е), так что эта величина может быть рассматриваема как переменное под интегралом. Во втором интеграле части, в которых (е — е) = 5, сокращаются с теми, в которых (е — е) = 27т — поэтому он оказывается нулем. Положим
L= ^ТГ JJJ rfc’
м = ~h III ^T^gdgdtedc,
N = 0.
Умножая на cose: и sine и складывая уравнения для L и М 27\ получаем:
y/(z - с)2 + х2 + д2 - 2дх cos е ’
сг cos е • gdg de dc
тогда
М cos е —L sin e = ф.
M sin е +L sin ? = 0,
или
(7а)
L = — фБШЕ, М = фсОБ?.
Назовем через т скорость в направлении радиуса х и> обратив внимание на то, что в направлении окружности круга скорость должна
§6. Кольцеобразные вихревые нити
35
быть равной нулю (27а) вследствие симметричного положения вихревых колец относительно оси, получим:
u = r cos ?, v = rsin?:
и из уравнений (4)
01__Ш 0,_дЬ _ дМ dL
л 5 л 5 л л
oz oz ох ду
Отсюда следует
дгЬ дгЬ гЬ
Т = ~~dz' W=d^ + X'
ИЛИ
(г?иЛ 9{фх) д(Фх)
РЧ т* = -—’ xw = ~oT-
Таких образом, уравнение линий течения 28) будет
фх = const.
Выполняя указанное в выражении ф интегрирование прежде всего для вихревой нити с бесконечно малым поперечным разрезом, причем adgdc = mi, и обозначая обусловленную этим часть ф через фтп имеем
т1 Гд Г 2
Фт 1 тг А/ % "I Ж
{!(*¦-В)-*f},
(9 + х)2 + (г-»)2’
где F и Е обозначают полные эллиптические интегралы первого и второго рода для модуля к 29).
Положим для краткости
и = !(F - Е) - KF, где U — функция щ тогда
36
Об интегралах уравнений гидродинамики
Если в точке, определяемой координатами х и г, находится вторая вихревая нить ш, и мы назовем через т скорость в направлении g, которую она сообщает вихревой нити mi, то мы получим величину ti, если подставим в выражение для т
вместо г х 9 z с mi
П g х с z m.
При этом к и U остаются неизменными и m место равенство:
(8) ттх + ш\Т\д = 0.
Определим теперь величину w параллельной оси скорости, которая обусловлена вихревой нитью mi, с координатами д и с. Находим
_\m1 [g_TT,mi dU я Сz-c)2+g2 + x2 Х 2 7Г у X + к ^ dx ' 2Х' (д + х2) + (z - с)‘
Если мы обозначим через w\ скорость, параллельную оси г и обуславливаемую вихревым кольцом т, координаты которого суть z и х, в том месте, где помещается mi, то придется только произвести вышеуказанную уже замену соответствующих координат и масс. Тогда мы найдем, что 30);
(8а) 2mwx2 + 2miWig2 — 2mrxz — 2т\Т\дс = — ^J~gx U.
Подобные суммы, как в уравнениях (8) и (8а), можно составить для любого числа вихревых колец. Я обозначаю для n-го кольца произведение сг dg dc через mn, компоненты скорости, которую оно получает от остальных вихревых колец, через тп и wn, причем я пока не буду рассматривать скорость, которую каждое кольцо может сообщить самому себе.
