Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
5) к стр. 11. Важный вопрос о разложении движения жидкости, рассматриваемый здесь впервые с самой общей точки зрения, вызвал полемику между Гельмгольцем и Бертраном (Compt. rend. Bd. 66, 67, 1868).
В результате этого спора Бертран должен был согласиться, что формулы Гельмгольца столь же общи, как и данные им формулы, исходную точку которых составляет разложение движения жидкости на два основных движения: перенос и расширение по трем направлениям, взаимно неперпендикулярным.
6) к стр. 14. О теореме Грина ср. № 61 Ostwald’s Klassiker, стр. 121 (примеч. 9). Если в приведенной там формуле положить U = V = ф и принять во внимание, что 5ф — 0, то получается уравнение, приводимое в тексте. Относительно ограничения теоремы см. примеч. 4). Цитата в примечании содержит в оригинале ошибку, там стоит: Crelle’s journal, том LIV, стр. 108, вместо XLIV, стр. 360. — В томе LIV содержится упомянутая на стр. 9 текста работа Римана.
Что у твердой стенки, ограничивающей жидкость, нормальная
слагающая скорости ^ обращается в нуль, следует из того, что поверхность жидкости, свободна ли она или несвободна, состоит всегда из тех же частиц. Последнее есть следствие непрерывности жидкости.
7) к стр. 15. Этим определяется понятие «вихревого движения», как такого движения жидкости, при котором определяемые уравнени-
1. Вихревые движения
59
ями (2) на стр. 13 слагающие скорости вращения не обращаются в нуль. Если это имеет место, то потенциал скоростей не существует. Важность этого нового понятия особенно видна из следующих открытых Гельмгольцем теорем.
8) к стр. 16. Для пояснения заметим: в уравнениях Эйлера величины, определяющие движение жидкости, выражаются как функции
места и времени. Поэтому ~^dt обозначает изменение, претерпеваемое
функцией гр за время dt в определенном месте жидкости. Эта величина отнюдь не представляет собой изменения, которое испытывает гр за время dt для определенной частицы жидкости, так как частица в продолжение времени dt не остается на одном и том же месте, но координаты ее изменяются на udt, vdt и wdt. Если для какой-нибудь частицы жидкости в начале рассматриваемого элемента времени гр была некоторой
определенной функций от ж, у, г, t, то в конце dt гр для нее есть та же
функция от x + udt, y + vdt, z-\-wdt, t-\-dt. Поэтому изменение гр в этом случае будет:
4dM+vdM+wdM+dM,
ох ду oz dt
и это выражение в отличие от ~^dt обозначается через ~^dt.
9) к стр. 16. Относительно выкладок, приводящих к уравнениям
(3) и (За), заметим следующее: дифференцируя первое уравнение (1) по у, второе по х и вычитая затем второе из первого, мы получаем, пользуясь условием (1а) и последующим уравнением (2):
(Л_д2С д2С д2С д2С
О — -777—и—----Ь V— Ь w~^—Ь
ot ох ду dz
. ди ди , dv ди , dw ди ди dv dv dv dw dv
ду дх ду ду ду dz дх дх дх ду дх dz'
Сумма первых четырех членов правой части равна Сум-
ма следующих членов, если согласно четвертому уравнению (1) положить представится в виде:
дх ду oz
/ 7 \ dw ди , dw_ ди , dv_ dw_ _ dw_ dw_
dz ду dy dz dx dz dx dz'
60
Примечания и объяснения к тексту
Прибавляя и вычитая из этой суммы по ^ можем сумму (b) записать так:
Подставляя это выражение в (а), получаем последнее уравнение (3). Чтобы получить последнее уравнение (За), нужно к сумме (b) прибавить
. ди dv _ ди ду dz dz dz dz'
10) к стр. 17. В оригинале скорость вращения обозначена не через сг, а через q. Изменение сделано для сохранения единства в обозначении, так как дальше в оригинале скорость вращения всегда обозначается через сг, между тем как q есть результирующая скорость. В собраниях сочинений q иногда заменено сг.
11) к стр. 18. Для пояснения доказанной здесь важной теоремы могло бы служить следующее замечание: Гельмгольц рассматривает две жидкие частицы, из которых вторая для времени t лежит на оси вращения первой, и именно на расстоянии еа от нее. Если координаты первой частицы суть х, у и г, то координаты второй — х + у + ег], z + и если слагающие скорости первой и, v, w, а второй и\,
то вследствие непрерывности жидкости и\, У\, w\ суть те же функции от х + е?, у + ?77, z-\-e( как и, v, w от х, у, г. Разлагая по строке Тайлора, мы получаем для и\, w\ выражения, данные тремя уравнениями на стр. 17. По истечении времени dt обе частицы изменили свое положение в жидкости; координаты первой стали теперь х + udt, у + ydt, г + wdt, а второй х + у + er] + uidt, г + + widt. Если ai, Д, 71 суть
косинусы углов направления прямой, соединяющей обе частицы для времени t + dt, то
