Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):


и = 0, т. е. К — постоянно.
(6с)
ди _ dv _ д'Р _ ж/
dz dz dz dz
§5. Прямолинейные параллельные вихревые нити
31
Уравнения (2) принимают вид
а уравнение (3):
? = 0, , = 0, 2(=fs-g,
Следовательно, вихревые нити сохраняют постоянную скорость вращения, а потому также и постоянное поперечное сечение.
Уравнения (4) принимают вид:
u=dN v=dN ду 5 дх 5
d2N d?N_ = дх2 ду2 ^‘
Я положил здесь Р = 0 на основании замечания, сделанного мною в конце §3. Таким образом, уравнением линии течения 22) будет N = const.
Величина N в этом случае представляет потенциальную функцию бесконечно длинных линий; она сама бесконечно велика, но ее производные конечны 23). Если а и Ъ суть координаты вихревой нити, поперечное сечение которой равно da db, то
_ dN _ (da db x-a _ dN _ (dadb y-b V~ дх~ к r2 ’ U~ dy ~ * r2 ‘
Отсюда следует, что результирующая скорость q перпендикулярна к перпендикуляру г, опущенному на вихревую нить, и что
(da db У ~ 7ГГ '
Положим, что в массе, распростирающейся в бесконечность в направлениях х и у, мы имеем несколько вихревых нитей, координаты которых суть соответственно х\, yi, Х2, У2 ¦ ¦ ¦ • Если мы обозначим произведение скорости вращения на поперечное сечение каждой нити через mi, Ш2 и т. д. и образуем суммы
U = mi^i + ш2^2 + тзиз + и т. д.
V = m\V\ + m^v2 + 1TI3V3 + ...,
32
Об интегралах уравнений гидродинамики
то они будут равны нулю, потому что в сумме V часть, происходящая от действия второй вихревой нити на первую, уничтожается действием первой нити на вторую. Именно эти части будут
Ш2 Х\ — Х2 т\ Х2 — Х\
и ГГ^'2 ' ~7Т~ ^2 ’
то же самое будет и во всех других частях обеих сумм. Но теперь U представляет скорость центра тяжести масс mi, т2 .... в направлении ж, умноженную на сумму этих масс; то же значение имеет V относительно оси у. Обе скорости, следовательно, равны нулю,
если только сумма масс не равна нулю, в каком случае вообще не име-
ет места центр тяжести. Итак, центр тяжести вихревых нитей при их взаимном передвижении остается неизменным, и так как это положение справедливо для любого распределения вихревых нитей, то его можно применить и к отдельным вихревым нитям с бесконечно малым поперечным сечением.
Отсюда вытекают такие следствия:
1) Если мы имеем отдельную прямолинейную вихревую нить с бесконечно малым поперечным сечением в жидкой массе, распростирающейся в бесконечности во всех направлениях, перпендикулярных к нити, то движение жидких частиц, находящихся в конечном расстоянии от нити, зависит только от произведения ?dadb = т из угловой скорости на площадь поперечного сечения нити, а не от формы сечения. Частицы жидкой массы вращаются около нее с тангенциальной ско-
777 u
ростью —, где г представляет расстояние от центра тяжести вихревои нити. Таким образом, положение самого центра тяжести, скорость вращения, величина поперечного сечения, а следовательно, и величина т остаются неизменными, если даже форма бесконечно малого сечения и изменяется.
2) Если мы имеем две прямолинейные вихревые нити с бесконечно малым поперечным сечением в безграничной жидкой массе, то каждая из них относить другую в направлении, перпендикулярном к линии, их соединяющей. Расстояние их от этого не изменяется 24). Таким образом, обе нити будут вращаться около их общего центра тяжести, оставаясь на равном расстоянии друг от друга. Если скорость вращения в обеих вихревых нитях имеет то же направление, т. е. имеет одинаковые знаки, то центр тяжести должен лежать между ними.
Если же она в них направлена в противоположные стороны, т. е.
§6. Кольцеобразные вихревые нити
33
имеет обратные знаки, то центр тяжести будет лежать на продолжении линии, их соединяющей. И если произведение из скорости вращения на поперечное сечение для обеих нитей то же по величине, но противоположно по знаку, — когда центр тяжести лежал бы в бесконечности, — то они обе будут передвигаться с одинаковой скоростью в том же направлении, перпендикулярном к линии, их соединяющей.
К последнему случаю можно свести и тот, когда вихревая нить с бесконечно малым поперечным сечением находится около параллельной ей бесконечной плоскости. Граничное условие для движения воды у этой плоскости, состоящее в том, чтобы движение происходило параллельно плоскости, выполняется, если вообразить себе по ту сторону плоскости вторую вихревую нить, представляющую зеркальное изображение первой. Отсюда следует, что находящаяся в жидкой массе вихревая нить движется (поступательно) параллельно плоскости в направлении, в котором движутся жидкие частицы, находящейся между ней и плоскостью, н притом со скоростью равной четверти той скорости, которую имеет частица жидкости, лежащая в основании перпендикуляра, опущенного из вихревой нити на плоскость.



