Наблюдаемость электроэнергетических систем - Гамм А.З.
ISBN 5-02-006643-5
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы определитель мог использоваться в качестве меры наблюдаемости, необходимо пронормировать строки (столбцы) базисной матрицы H так, чтобы IlAl-II а 1. Взаимно ортонормированным строкам (столбцам) базисной матрицы H соответствует определитель det// = 1. Взаимно ортонормированным столбцам избыточной матрицы H при Rv = I и взаимно ортонормированным столбцам RylflH при Rv= ofl,
121
і = I, т соответствуют определители det# = I, det (HtRvlH) = I. Эти условия определяют наилучшую наблюдаемость системы (3.4).
Если в качестве критерия наблюдаемости использовать определитель
ковариационной матрицы PJ detPx = П — },то случаю наилучшей наблю-\ г=і \ )
даемости будет соответствовать минимальный определитель, равный единице.
5.4. СЛЕД МАТРИЦЫ
Из выражения (5.10) следует, что след матрицы Px является обобщенным показателем точности оценок параметров состояния, не всегда свидетельствующим о качестве наблюдаемости. Известно [65], что в случае нормального закона распределения ошибок измерений при стремлении числа измерений к бесконечности дисперсии оценок параметров состояния стремятся к нулю (это свойство состоятельности оценок).
Покажем, что при увеличении числа измерений всегда происходит уменьшение следа матрицы Px. Пусть число измерений увеличилось с і до / + 1, тогда
Pxm = (^+/7)'1 = [(1+/т/Р,,.)ЯтЯ]-‘, (5.14)
где/— строка Э Vi+l/dx, соответствующая / + 1-му измерению.
Применяя в (5.14) к выражению в скобках лемму об обратной матрице [1], получим
(!+FfPxtY1 = I-FQtfP3CftT1 = l- fT<l+c)-lfPXi> (5.15)
где с =fPXifT - скаляр.
Подстановка (5.15) в (5.14) дает
Pxm =Px,-PxlfJ(l+cT'fPxl (5.16)
И
trPxhi = trPxi - tr[Par./'(I + CY1ZPxf]. (5.17)
В квадратных скобках—положительное число в силу положительной определенности квадратичной формы fTf.
Следовательно, при увеличении числа измерений на одно, след уменьшается на величину
Atr Px = Ir [Px.fT(l +Cy1ZPx. ]. (5.18)
Таким образом, при указанных предпосылках наращивание измерений позволяет получить больше информации о свойствах изучаемого объекта. Однако на практике такая возможность часто не может быть реализована. Это объясняется тем, что для состоятельности оценок необходимо выполнение принятых допущений о вероятностных характеристиках ошибок измерений. Таким предположением в нашем случае является нормальность закона распределения ошибок измерений. На практике это требование зачастую ие выполняется, поэтому ошибки оценок х представляют
122
сумму двух составляющих [67]
ех = ех+е'х*
(5.19)
где ех соответствует принятой системе допущений, это моделируемая ошибка, а е'х — немоделируемая, чаще систематическая ошибка. При использовании состоятельного алгоритма фильтрации ех -+ 0 при где т — число измерений. Этого нельзя сказать про иемоделируемую ошибку, которая либо сходится, либо расходится. При большом числе измерений основную роль играют такие иемоделируемые ошибки, и оценка х оказывается несостоятельной.
И все же след матрицы Px может использоваться в качестве меры наблюдаемости. Если столбцы матрицы H или ортонормированы, то мини-
мальной независимо от числа используемых измерений будет величина п 1
trPx = L -— = п. Если к такой системе добавить одно измерение, то вза-
1=1 Xi
имная ортонормированность столбцов H или Ry^iHнарушится (по крайней мере, для одного столбца) и след ковариационной матрицы Px станет больше, чем я, — это будет свидетельствовать об ухудшении точности оценок, вследствие возникновения корреляционной зависимости. В то же время критерий trPx при ненормированных столбцах H или R^iHсогласно (5.18) в этом случае укажет на улучшение точности оценок.
След информационной матрицы Px1 при нормированных столбцах H или Ry^1H ие может использоваться в качестве критерия наблюдаемости, поскольку он всегда равен числу параметров состояния п, для ненормированной системы след Px1 теоретически возрастает при увеличении числа измерений, при m -*¦ °° trPxl
5.5. ВЗАИМОСВЯЗЬ КРИТЕРИЕВ КАЧЕСТВА НАБЛЮДАЕМОСТИ
Из подразд. 5.2-5.6 следует, что все критерии оптимальности состава измерений связаны с длинами осей эллипсоида рассеяния, равными собственным значениям ковариационной матрицы Px. При этом было установлено, что случаю наилучшей наблюдаемости при нормированных столбцах Ky ^2 H соответствует их взаимная ортогональность, paBeHCTBodet (Px) =det (Pje)-1 = = l,tr(P*) = п, равенство собственных значений матриц Px, Р~х между собой и единице, cond (Px) = cond (Р~х) = 1. Все это верхние значения критериев качества наблюдаемости. Коллинеарности столбцов Ry2H соответствует равенство по крайней мере одного из собственных значений матрицы Px нулю или cond (Px) = °°, cond (Px1) - °°• Это иижние оценки возможных значений критериев.
При ненормированных столбцах признаком их ортогональности является диагональная форма матриц Px, Px х, признаки коллинеарности такие же, как у нормированной системы столбцов R^ 1^2 Н.
Для выявления зависимости между критериями в общем случае, для схемы ЭЭС, содержащей 4 узла и 4 связи и имеющей вид прямоугольника, был выбран оптимальный базисный состав измерений реактивной модели -измерения напряжений во всех узлах схемы. Проводилось вначале наращивание измерений добавлением иа каждом шаге измерения реактивной инъ-
