Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
(б) Откажемся здесь от нормировки, использованной в пункте (а), и примем опять, что спектральная плотность шума равна Аг0/2. Предположим, что передано сообщение т, т < М/2.
Пусть ?]—событие, заключающееся в том, что ут<^. А, и ?2—событие, заключающееся в том, что для некоторого т’ ф т, j ут, j :> А. Тогда А
Pr [?,] = Рг [?2] =
1
”]/ я А0
А )
ехр
1
(у-
Л'п
dykPlt
(1)
V л А 0
ехр
(т-)
.А у JUV0
А
dy
М/2 -
ехр
М
2
¦м
——— ехр — — Т/ яА0 V No
dy
(2)
М
V JtJVo
"р
(3)
Декодер всегда декодирует правильно, если ни Еъ ни ?2 не наступят. Следовательно, Рс — вероятность правильного декодирования удовлетворяет неравенству
Рс > 1-Р1-Р2.
Так как 1—Рс = Ра-\-Ре, то
Ра + Ре < Р1+Р2, р,г
Ошибка произойдет, если | ут. | > А точно для одного значения т’ ф т и I Ут I <С А или если ут —А и j'ут, | < А для всех т’ ф т. Так как ут не зависит от у , для всех тг фт, то
Ре < Pr [?j] Рг [?2] +Рг [ут < -А].
Используя (2) для Рг (?2), получаем
+
X Ф
J v=
У лУУ0
V% — A
exp
G/-T/i)2
No
dy = (M—2) X
Vn 0/2
ф
+ Ф
A + V% \ У~Щ/2 I
Если А и "l/W—А велики по сравнению с VN0I2, то Ф
А + У1' У No/2 Г (А + У^)21
УЛУ2 {А + У %) V 2л No
«ф I - Щ-________ф|-
V No/2
У No/2
Следовательно, в этом случае (который только и представляет интерес)
у» - л'
МФ
V rtjV0
ехр
V No/2
-Р2 по / учаем
(А _ у»у
Ф
V No/2
= Р 1 Я *
(в). Дифференцируя Pi + P2 п0 Л, можно выбрать А, минимизирующее границу Ра (т. е. Pi + Pi). Получаем
No
М -
ехр I
No Г
2 V% А %
N о
— = In М, Л =—— N о А'о 2VgJ
In Ж
У^
Полагая, что Т — длительность сигналов, R =(\пМ)/Т, S = Ч$/Т и С = StNa, приведем это выражение к виду
Тогда из (1) имеем
Р1 = ф ( — ^---------------------------— | = ф
VNo/2
V:
l/:
С
Р,= eRr ФI —
яТ (С — R)‘ А
V No/2
С
ехр
екгФ
4 С
(С-Я)2
["/¦
2С
Ра <
пТ (С + R)2 1 1 ; +
ехр
Ре < Р1Р2 <
V
с_
лТ V с— R ' C+R С
~Tc(C-R)2
ехр
зхТ (С2 — R2)2
ехр
-2-(С-*)2
S76
Показатель зкспоненть/ при декодировании по максимуму правдоподобия
Показатель экспоненты Ре при декодировании с порогом
(г) Для А = -J— ё
Pi
l/ ~
У яе2
ехр
Показатель экспоненты Рц
Nn
С R
Рг
; 0/ST
¦ ехр
Т С — R — 2е
No Т
+
NaT
При этом выборе Ра зависит от Т неэкспоненциально, однако показатель экспоненты Ре равен С — R. Здесь наблюдается то же явление, что и указанное в задаче 5.14.
8.15. (а) Пусть x^t), ..., xM(t) — множество ортогональных кодовых слов с энергиями 2E'/N0 (здесь опять выбирается масштаб амплитуды, нормирующий шум). Пусть
1
и
Im (t)—Xm(t) ^
М
«)
ш'= 1
— соответствующие слова симплексного кода. Имеем
2
\ Im (0 dt = \ 4 it) dt - ~ \ Xm (t) Хт, (t) dt +
М т’ = 1')
М2
2
М
1
М
2Е' /М — 1
2 \xm'(t)xm„(t)dt=~\\-
т', т" ” Л'о L
¦Если определить 2E/N0 как энергию lm(t) для каждого т, то
М— 1
М
? = ?'
М
(б) Квадрат расстояния между любыми двумя кодовыми словами в симплексном коде задается равенством
J [Sm (t) - lh {t)f dt = J l*m (/) - (/)]* dt
- -E-L _ 4?M
~ ^0 N0(M — 1)
для всех m, k, тфк.
Это выражение совпадает с верхней границей среднеквадратического расстояния, данного в (8.2.27), и, следовательно, кодовые слова с ограничением на энергию 2E/N0 не могут иметь большего минимального расстояния.
677
