Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
(в) Выражение (1) можно переписать в виде
n + an=fi; п<|_5_|.
Суммируя эти равенства от п = 1 до п — LS'J и учитывая, что Еап = 50, получаем
(LBJHLBJ +l)+50 = LflJB- (3)
Учитывая, что В, [_BJ и [_BJ +1 сравнительно близки друг к другу, видим, что Вг/2 + 50 х В2 или ficsslO. Взяв [_BJ = Ю, уравнение (3) можно решить относительно В, что дает В = 10,5. Следовательно,
$п=я(10,5—п), п < 10,
?„ = 0, л >10.
7.7. (а) Пусть у = (уъ у2, ..., yN) — принятая последовательность. Тогда
1п р Су I xi) ^п ^^п ^ I V ^ д
Р (У I хг) п=1 1 2сгп 2an J л=1
Декодер выбирает сообщение 1, если эта величина больше 0 и сообщение 2 в противном случае.
При условии, что сообщение 1 послано, пусть yv.-.,yN—последователь
ность независимых гауссовских случайных величин уп, имеющих средние
___ N
у%п и дисперсии ап-Следовательно, Л имеет среднее ^ 2^п/ап, дисперсию
л=1
N
2 4^п/ал и
П= 1
e,lz
где Ф (¦) — функция распределения гауссовской случайной величины с нулевым средним и единичной дисперсией. Из симметрии ясно, что Ре, 2= Ре, i и (1) дает вероятность ошибки.
(б) Вероятность Ре минимизируется выбором таких $п, 1 < п < N, которые
N
максимизируют ^ $п/Пл при ограничении 2
л=1
Пусть j—номер канала с наименьшей дисперсией шума, так что о/ < ал для 1 < п < N. Тогда
N <? N СО CQ
©71 'ЧП ©71 <0
~ 2 2~ 2* tt=l On п= 1 Of Oj
с равенствами всегда, когда = $ и $п= 0 для всех п=?/. Следовательно, '$] = '$ и $„=0 для n^j минимизируют вероятность ошибки и
гшпРе=ф( — 1 ~ i а//2я<? ехр [ — $/2а,?]
для $ » а/ (см. Феллер, т. 1, гл. VII, § 1).
(в) Из (7.5.57) видим, что В — возрастающая функция R' и что при R', стремящемся к 0, В стремится к aj. Следовательно, из (7.5.58) находим, что
Еех (0) = <э/4а/. (2)
Заметим, что этот показатель экспоненты равен половине показателя экспоненты, выведенного в пункте (б). Если взглянуть более тщательно на связь между скоростью R и R' [см. (7.5.41) и (7.5.60)], то увидим, что R яй R' только тогда,
665
когда <? > ст? и когда имеется большое число значений п, для которых ст? ж ж ст2. Показатель экспоненты в (2) равен показателю экспоненты, который возникает при малом числе ортогональных кодовых слов и использовании лишь каналов, для которых <т2 = aj.
8.1 (а) По предположению, если Xj (t), i — 1, 2, ... — любая последовательность функций из L2, аппроксимирующих функцию x(t) из L2 в том смысле, что
lim ^ | л: (t) — xi (t) \2 dt = О,
i-+ оо J
и если последовательность Xi = J xi (t) z (t) dt, t = 1, 2. сходится к пределу,
скажем х, в том смысле, что lim(^ — д:)2=0, тол:=| x(t)z(t)dt.
i-+oo
К этой задаче наиболее естественно подойти, рассматривая функции x(t) из множества L2 как элементы гильбертового пространства со скалярным произведением (x(t), y(t)) = J x(t) y(t) dt. Аналогично случайные величины x = = jx(t) у (t) dt можно рассматривать как элементы гильбертового пространства со скалярным произведением (х, у) — ху. Тогда x=j x(t)z(t)dt можно рассматривать как линейное (быть может, неограниченное) преобразование в гильбертовом пространстве. Доказываемый результат эквивалентен теореме § 117 книги Рисса и Надь (1955).
(б) Так как [J х (0 2 (0 ^]2 ^ М для всех нормированных x(t), то для произвольных ненормированных х (t) имеем
[J x(t)z(t)dt]2=\jx*(t)dt] 1 J((*j dTz(t)dt'<Mf х» (t) dt. (1)
Для *(0—2 fPi (0 можно использовать условие линейности (8.1.36) и t= 1
получить
к
^ x(t)z(t)dt = ^ xt (jcpi(t)z(t)dt+ ^ Следовательно,
k р \ х (t) z (i) dt — xizi=\
i= 1 J
2 xi VlW i=k+l
Применяя (1) к правой части (2), находим
2 (t) dt.
z (t) dt.
(2)
< M
2 Xi Фi (t) i=>4-1
i= 1
2 oo
dt = M 2 xl
i=k-1-1
(3)
CO
Так как ^x2(t)dt= ^ xt конечно, то правая часть (3) стремится к нулю с
г= 1
возрастанием k, давая требуемый результат.
666
8.2. Используя равенство (1), из решения задачи 8.1. (б), имеем
