Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
8.7. (а) Соответствующее ортонормальное разложение имеет вид
1
it < t < (i -f- 1) т,
фг (0 =
Ут
О в других точках.
Это разложение может быть дополнено множеством ортонормальных функций, ортогональных ко всем <pi(t). Вход канала ограничен тем, что имеет вид 2 х(-фг-(/), и, конечно, последовательность {х(-} можно рассматривать как дискретную по времени последовательность входов. Если канал используется в течение всего временного интервала Т = Nx, то вход ограничен линейными комбинациями N ортонормальных функций, и пропускная способность (в натах в секунду) задается формулой (8.2.8):
N / , 2ST \ 1 / 2St\
С(т)_—)--ln(l+-).
Это выражение, как и следовало ожидать, не зависит от Т (если этого не было, бы, то следовало бы перейти к пределу при Т -» оо);
lim С (т) =S,W0. т^о
Это то же самое выражение, что и для пропускной способности при отсутствии каких-либо других ограничений на входе, кроме мощностных, что естественно, так как при т —» 0 фактически не остается никаких других ограничений на входную функцию, кроме мощностных.
(б) Если входы ограничены значениями ±1^S, то xi в разложении Ххгфг (/)
ограничены значениями Рассматривая это как дискретный по времени ка-
нал, находим, что это тот же самый канал, что и рассмотренный в задаче 4.22. Здесь ограничение на энергию xi включает в себя Sx, в то время как в задаче 4.22 было S. Здесь дисперсия шума равна N012, в то время как тогда она была равна а2. Из решения задачи 4.22 вытекало, что пропускная способность в натах на интервал длительности т секунд равна
Ci =Sx/N0 -j- R (5т),
где R(Sx) стремится к нулю с т как т3/2. Следовательно, в пределе при т -* О пропускная способность в натах в секунду равна С = SINn. Отсюда видно, что условие, состоящее в том, что амплитуда фиксирована, не отражается на пропускной способности в пределе при сколь угодно большом числе степеней свободы.
(в) Здесь приемник интегрирует и квантует принятый сигнал на каждом интервале продолжительности т секунд, превращая канал в ДСК с переходной вероятностью
8= ? г „>4ф('-,/?ру
J Y яМо No \ г 0 /
— ОО
Пропускная способность вычислена в задаче 4.22 в пределе при т -> 0, и в натах в секунду она равна С = 2S/nN0.
Важно отметить, что из пунктов (б) и (в) следует, что ограничение, сводящееся к тому, что вход двоичный (с достаточным числом степеней свободы) не приводит к какой-либо потере пропускной способности канала, однако двухальтернативное решение на приемнике уменьшает пропускную способность. По су-
669
ществу, это сводится к отбрасыййнйю информации о надежности каждого выходного символа. Способность декодера использовать эту информацию для надежного приема каждого бита является обычно основным фактором при выборе кодирующей и декодирующей процедуры для канала с гауссовым шумом.
8.8. (а) Принятый сигнал можно переписать в виде м.
:(*>= 2
т—М\
Мг
- 2
т — М1
1
У 2 1
У~2
(О cos фт (О
хт (0 sin (О
У 2 cos (200nmt) -
У 2 sin (200кт().
Так как xm(i) и фm(i) могут быть выбраны произвольно (с соблюдением огра-
1 1
ничения на мощность), то —— хт (i)cosq>m(i) и —zz xm(i) sin срт (i) могут
У 2 У 2
быть выбраны независимо, но так, чтобы они удовлетворяли ограничению на мощность. Следовательно, функция x(t) на каждом интервале продолжительностью в одну секунду ограничена тем, что она является произвольной линейной комбинацией 2(Мг — М1 + 1) ортонормальных функций. Из (8.2.8) следует
5
1+-
С = (Ма—1) In
(б) Ограничение на x(t) аналогично ограничению на полосу частот, но x(t) согласно пункту (а) не имеет ограниченную полосу частот. Тем не менее пропускная способность совпадает с пропускной способностью канала, имеющего выход, ограниченный полосой частот М2 — Мх + 1. Это, конечно, полоса частот, на которой обычно концентрируется энергия x(t).
(в) При М2 -> оо С стремится к S/N0.
(г) Блоковый код с М кодовыми словами и длительностью блока Т секунд является кодом, в котором каждое из М кодовых слов определяется некоторым выбором значений xm(i) и q)m(i) для всех т, М-± < т < Мг, и всех i, 0 < i < < Т — 1. Ограничение на мощность заключается в том, что для каждого кодового слова
г— 1 м2
2 2 х” (0 < ST-i = 0 m = Mt
Смысл пропускной способности состоит в том, что для любой скорости R < С, взяв длительность блока достаточно большой, можно найти коды со скоростью/? и со сколь угодно малой вероятностью ошибки.
