Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
ехр [ — TiVC — VRfb С/4 R < С, ехр [ — Г (С/2 —i?)], R < С/4 .
8.19. Сначала заметим, что из (8.5.86) — (8.5.88) следует, что (В, р) R^B) и Е^В, р) — непрерывные функции В и р. Следовательно, для любых заданных В и р и любого заданного > 0 существуют 6j > 0 и <53 > 0, такие'
\Еж(В1, Рх) — ?оо (В, р) | < Bj для | рх — р | < 6Ь | Вг — В | <63.
(1)
681
Аналогично, так как Sx (В, р) строго возрастает с р(р > 0), то имеем
Следовательно, существует некоторое б2 > 0, удовлетворяющее неравенству 62 < б3, такое, что
See (В, p-SiXS^B, р). ует некоторое б2 > 0, уд<
See (5 + б2, р —бх) < Soo(5, р). (2)
Тогда из (1) имеем
Еоо (В + б2, р — > Еоо (В, р) — . (3)
Наконец, так как Rco (В) возрастает с В, то R ОО (В + 62) > R ОО (В).
Так как Roo, Еоо и Soo все сходятся к пределу при Т-+ ос, то можно найти достаточно большое Т, так что
Rt (В -f-62) ^ Roо {В),
St (В + 62, р—61) < Soo (В, р),
Ет (B + S2, р—6j) > Еоо (В, р)—2et.
Следовательно, из (8.5.85) при использовании В + б2 вместо В и р — вместо
р вытекает (8.5.89) для заданных В, р, произвольного положительного числа е =
= 2 е, и достаточно большого Т.
8.20. Для фиксированного R рассмотрим показатель экспоненты вероятности ошибки как функцию мощностного ограничения. При возрастании мощности, начиная с точки, где R равна пропускной способности, сначала следует рассмотреть показатель экспоненты случайного кодирования, затем прямолинейный участок показателя экспоненты и, наконец, показатель экспоненты для процедуры с выбрасыванием. Для показателя экспоненты случайного кодирования имеем равенства (8.5.86) — (8.5.88). Прн фиксированном R значение В также фиксировано, поскольку оно удовлетворяет равенству Rж (В) = R. Из (8.5.88) видно, что Е можно рассматривать как функцию S^ и р. Имеем
дЕоо dEa
dS со dS„
дЕ оо / dS
+
где
f:
1/2 In
J
нЛп !2^ 1
dp j Эр
рлг (П
1 +р-
в\ Ну (/)[*
df.
N (f) В
д~Е~ ^ -- (\/f -Д|Я^)|2-^.-_,/=0(
Эр 2В(1+р)2 J (l+p)B|tfi(/)|a-pW(/) где было использовано определение Soo из (8.5.86). Следовательно, d Еоо дЕ,
d Soo д So.
2В(1 +р)
(1)
Этот результат справедлив при изменении мощности в области от мощности, при которой R = С [задаваемой S^ (В, 0) в (8.5.86)] до мощности S^ (В, 1), определяемой из (8.5.86). Заметим, что наклон равен нулю при (В, 0), указывая на непрерывность при меньших значениях S, для которых Е = 0. Для S > Sx (В, 1) используем (8.5.94) для определения Вст в тер* 682
минах S = (Bcr, 1); показатель экспоненты будет задаваться равенством
Е = Еоо (Bcr, l)+i?cr—R,
где Rcr определяется формулой (8.5.95).
Используя (8.5.88) и (8.5.95), получаем
S
• +
Е — ¦
f:
\н,и)\г> 1
NU) в
/2 1п
N(f)
Bcr 1Н, (Л I'2
+
+ -dS
ln
дЕ_
dS
I tfi (f) I2 N (/)
+ I
as
Беря производную dEjdBcr и используя S = S«> (BCJ , 1) из дим, что dEldBcl= 0, так что
dE_______1_
dS 4 Bcr
(8.5.94), опять ви-
(2)
Этот результат справедлив для Sc» (В, 1) < S ; SXiс» (Вх, 1), где Вх равно В, которое удовлетворяет (8.5.102) для R = RX<со. Заметим, что Всг в (2) возрастает по S, начиная с В из (1) до Вх. Так как ВСГ = В при S= Sdo(B,1), то, очевидно, (1) и (2) совпадают при S = Sdo(-S,1), что доказывает непрерывность в точке S„o (В, 1). Наконец, из (8.5.103) имеем
dEx оо ^
= 7Г ’ (3)
где — значение В, определенное из (8.5.102) для R=R'x oa. Так как Вх =
— Всг для S = SX'Oa (Вх, 1) то (2) и (3) совпадают в этой точке, что доказывает непрерывность в этой точке.
8.21. (а) Пусть послано сообщение i. Тогда
Т/2 2 Т/2 2
j vi,i 77^cos2 (2n/i/) dt + f z(t)-7=c.os{2nfxt)dt = v1,i'\/T +
-T /2 У 1 —Г/2 У
