Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
выписать их с точностью, соответствующей приближению
(55.07) для остальных членов, мы получим вместо (55.07):
Для того чтобы члены с Г', которые мы отбрасывали, были действительно
малы по сравнению с членами типа Agv-'*, принятыми во внимание,
необходимо, чтобы Г° было относительно с более высокого порядка малости,
чем 1/с4, а Г* - более высокого, чем 1/с\ Эти условия в самом деле
выполняются. Действительно, из (55.38) непосредственно видно, что Г!
будет четвертого порядка относительно 1/с. Что касается Г°, то здесь
члены четвертого порядка равны
Эти члены имеют вид Г^Гар. Для вычисления приближенных зна-
Гзэ
(55.39)
(55.41)
Эти члены должны исчезать. Следовательно, должно выполняться равенство
§ 56] УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ В СТАТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ '/Ы
Как видно из определения величин U и Ut (посредством дифференциальных
уравнений с предельными условиями или посредством объемных интегралов),
это равенство действительно выполняется в силу соотношения
я + 2ткг = 0' <55-43>
г-1
выражающего закон сохранения массы в ньютоновом приближении.
Таким образом, полученные нами для фундаментального тензора выражения
действительно удовлетворяют, в первом приближении, как уравнениям
тяготения, так и условиям гармоничности. Кроме того, они, очевидно,
удовлетворяют предельным условиям на бесконечности. Соответствую!нее им
выражение для квадрата элементарного интервала имеет вид:
ds ¦ - (с2 - 2U) dtг - (1 (^х1 ~\~dx:,-\- ^хр
-f- ~ (U1 dxt-}-U2 dx.2-\- U3dx.) dt. (55.44)
Обычно члены, содержащие произведения dxidt, не играют роли. Отбрасывая
их, мы получим выражение
ds2 = (с1 - 2U)dt- - (\ -f ^г)(dx\ + dx\-f dx0, (55.45)
в которое входит только ньютонов потенциал. Эго выражение уже было
приведено нами без доказательства в § 51 [формула (51.11)].
§ 56. Уравнения тяготения в статическом случае
Фундаментальный тензор называется статическим, если его компоненты не
зависят от временной координаты х0 - t, так что
%" = " (56.01)
и если, кроме того,
gm - 0 V = !- 2. 3). (56.02)
Из физических соображений очевидно, что когда имеется несколько масс, то
они должны двигаться *). Поэтому фундаментальный тензор может оказаться
статическим только в случае одной массы. Несмотря на ограниченность
физических применений, статический случай представляет известный интерес:
во-первых, в этом случае легко исследовать вопрос об единственности
решения и, во-вторых, в статическом случае можно указать строгое решение
уравнений Эйнштейна со сферической симметрией.
*) Задача о движении системы масс подробно рассматривается в главе VI.
252 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ [гл. V
При условиях (56.01) и (56.02) мы можем положить
goo = У"2! Sik = - aik> (56.03)
после чего квадрат интервала напишется:
з
ds3 - V'2 dt2 ¦- 2 aik dxidxk, (56.04)
i, k-1
причем коэффициенты этой квадратичной формы не зависят от t. Для
пространственной части квадрата интервала мы введем- обозначение
8
dl2 = 2 aikdxidxk, (56.05)
i, к = 1
так что формула (56.04) примет вид:
ds2=V2 dP - dP. (56.06)
Рассматривая, наряду с четырехмерной квадратичной формой (56.04),
также и трехмерную форму (56.05), мы можем применять формулы тензорного
анализа к обеим этим формам. Определяя величины а1'* из уравнений
(55.21), мы можем считать их контравариантными компонентами
пространственного фундаментального тензора, соответствующего форме
(56.05). Мы будем иметь
g00=v^ = = (56.07)
а также
]/ - g= VV а,
где, согласно (55.22),
а = Det aik. (56.08)
Латинским значкам /, k, . . . мы придаем значения 1, 2, 3, а греческим
значкам р, v, . . . -значения 0, 1,2, 3.
Обозначим четырехмерные скобки Кристоффеля (для фундаментального тензора
ga,,) через (Г?у)" и трехмерные скобки Кристоффеля
h
(для фундаментального тензора aih) - через (!"-)". Аналогично будем
снабжать значками g и а тензорные величины, относящиеся к четырехмерному
и к трехмерному случаю. Кроме того, положим
ук = ^; V* = a"Vx (56.09)
(в последней формуле подразумевается суммирование по k от 1 до 3). Мы
будем тогда иметь
(Г*), = (Г")в, (66.10)
§ 56] УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ В СТАТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 25S
а также
(Г U)y=V-V\ (L'oi)g=^r (56.11)
и, наконец,
(Гм)" = 0; (Г")в = 0; (Г?>)в=0. (56.12)
Припоминая общую формулу
дГр dl'p
г>Р - °р- _ lL?l _L г" гр _га Гр r56
• \<з, }Jiv - -Lav-Lajj." . I О)
мы можем выразить четырехмерный тензор кривизны через трехмерный тензор.
Если ни один значок не равен нулю, мы будем иметь, вследствие (56.10),
(Ri.hk)g~(Ri,hk)u- (56.14)
Если только один значок равен нулю, мы имеем
(Rlhk)g = 0; (До,Ы9 = 0; (Ki,o*)tf = 0. (56.15)
Нетрудно проверить также, что
(ЛИ.л*) = 0. (56.16)
Применяя общую формулу (56.13) к случаю з = р. = 0 и пользуясь
выражениями (56.10) - (56.12) для скобок Кристоффеля, будем иметь:
(Я(r)-оъ)9 ^-Шк(У'у1) + у-у'(Г^" - уьу1 =
= v(drl+(r**>"vi)- (56Л7)
Но величина
(^ = ^ + СГ'*)0И (56.18)
есть вычисленная по правилам трехмерного тензорного анализа кова-риантная
производная от вектора V1. Вследствие (56.09) мы имеем
