Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
между асимптотами гиперболы дает наблюдаемое отклонение луча.
Луч света является, как мы знаем из § 38, нулевой геодезической линией,
для которой уравнение распространения фронта волны является уравнением
Гамильтона - Якоби (см. также Добавление Г). Поскольку в предыдущем
параграфе мы уже решили задачу о геодезической линии конечной длины, мы
можем получить уравнение луча из формул § 58 путем предельного перехода.
Напомним эти формулы. Мы имели интегралы движения
¦ a dt
r-\- a dz
(58.26)
0- + а>а|? = "* (58'27>
и уравнение траектории
( Ш = ¦7Г (г'+ ")4 - $ (г + ")3 ('-")- (г + а) ('¦-")• (58.32)
Так как для луча света di = 0, то постоянные г и р. в форму-
лах (58.26) и (58.27) будут бесконечно велики, отношение же их, равное
= T = <59'07>
будет конечным. Вследствие этого формула (58.32) лримет вид
Ш = J ^ + ")4 ~ (г + а) ('• - а) • (59.08)
272
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл. v
Вместо постоянной удобно ввести по формуле
Нт-^ = ]х1 = cb (59.09)
другую постоянную Ь, имеющую размерность длины. Формула
(59.08) перепишется тогда
Ш - i(г+а)4- +") (г - (r)) - (59 •1 °)
а соответствующее уравнение для и = 1/г будет иметь вид:
duV 1(1_|_о-и)* -и9+аЗв*. (59.11)
т
№
Если толковать г, <р как полярные координаты в евклидовой плоскости, то
только что введенная постоянная b есть "прицельное расстояние", т. е.
длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на асимптоту к
траектории. В самом деле, из элементарных формул евклидовой геометрии на
плоскости вытекает следующее выражение для длины перпендикуляра,
опущенного из начала координат на касательную к кривой, заданной в
полярных координатах:
= (59Л2)
Асимптота есть касательная в бесконечно удаленной точке {и - 0), а
следовательно, прицельное расстояние есть значение d при и = 0; это
значение получается из (59.11) и (59.12) равным Ь.
Вернемся к уравнению траектории луча в форме (59.11). Если считать
величину и порядка \/Ь, то в этом уравнении члены, содержащие и6 и и*,
будут по крайней, мере порядка oPjb1 по сравнению с главными
членами. Отбрасывая малые члены, мы полу-
чаем уравнение, которое решается элементарно. Решение будет иметь вид:
" = p + |cos?- (59.13)
Постоянная интегрирования в (59.13) выбрана так, что значению
9 = 0 соответствует наибольшее значение и (и, следовательно, наименьшее
значение расстояния г). Приближенно
= (59.14)
В евклидовой плоскости г, (c) уравнение (59.13) представляет гиперболу.
Направления асимптот этой гиперболы определяются из условия и = 0,
которое дает
cos (c) = - (59.15)
§ 60] вариационный принцип для Уравнений тяготения 273
Здесь правая часть есть малая отрицательная величина. Предельные значения
угла да будут поэтому равны
(Р = -|Н-8; <Р = --8. (59.16)
где малая положительная величина о может быть положена равной
8 = Т- (59Л7>
Угол отклонения луча есть угол между асимптотами гиперболы, который равен
25= Iя. (59.18)
Смещение видимого положения звезды, от которой луч проходит вблизи
Солнца, можно наблюдать во время полного солнечного затмения. Если
положить величину b равной радиусу Солнца, то для угла отклонения 28
получится значение
23 = Г',75, (59.19)
которое хорошо согласуется с наблюденными значениями. Обработка
наблюдений затмения 1952 г. приводит к числу 1 ",70. Этот результат
позволяет совершенно однозначно утверждать, что наблюдаемому закону
распространения света соответствует выражение (59.05) для rfs2, но не
выражение (51.10), которое дает вдвое меньшее число 0",87.
В заключение сделаем одно замечание по вопросу об определении прямой
линии в теории тяготения. Как следует определять прямую: как луч света
или как прямую в том евклидовом пространстве, в котором декартовыми
координатами служат гармонические координаты xv х.2, xs? Нам
представляется единственно правильным второе определение. Фактически мы
им и пользовались, когда говорили о том, что луч света вблизи Солнца
имеет форму гиперболы (59.13). Гармонические координаты глубоко
соответствуют, в рассматриваемых здесь случаях, природе пространства и
времени, и определение прямой должно опираться на них. Что касается того
соображения, что прямая, как луч света, более непосредственно наблюдаема,
то оно не имеет никакого значения: в определениях решающим является не
непосредственная наблюдаемость, а соответствие природе, хотя бы это
соответствие и устанавливалось путем косвенных умозаключений.
§ 60. Вариационный принцип для уравнений тяготения
В уравнениях тяготения
я1" - j /''я = - 5 pL' (60-°
слева стоит консервативный тензор, а справа - тензор массы. В § 48 мы
видели, что выражение для тензора массы может быть получено
18 Зак. 485. В. А. Фок
274
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл. V
путем варьирования интеграла действия по компонентам фундаментального
тензора. Так, в случае уравнений гидродинамики, интеграл действия может
быть написан в виде
5 = J (Р*с2 + р*П) (dx), (60.02)
где величина р* есть инвариантная плотность той части массы покоя,
