Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
теория относительности) свойства пространства-времени, не зависящие от
выбора координат.
Если эти уравнения выполнены, то вид искомого преобразования
(45.08) определяется однозначно, с точностью до преобразования
Лоренца. Величины х'л = /а должны быть тогда истолкованы, как галилеевы
координаты. Тем самым получается и толкование тех переменных (х0, xv х2,
х.3), в которых первоначально были написаны уравнения.
В приведенном рассуждении мы предположили, что величины g?-'1 являются
заданными функциями от координат. Но мы можем встать на другую точку
зрения и рассматривать величины gf-'1, как неизвестные функции,
подчиненные уравнениям (45.11) и (45.12), выражающим свойства
пространства-времени.
Решение этих уравнений дает для ковариантных составляющих
фундаментального тензора выражения
g*?
(45ЛЗ>
к = о
содержащие четыре произвольные функции Д. (Наличие в решении произвольных
функций связано с тем, что уравнения для g^ ковари-антны по отношению к
произвольному преобразованию координат),
Тот или иной выбор произвольных функций Д не влияет на физические
следствия теории, так как сводится к чисто математическому преобразованию
уравнений к новым независимым переменным. Целесообразно, однако,
ограничить выбор произвольных функций так, чтобы допустимые
преобразования составляли возможно более узкую группу и чтобы основные
уравнения теории получили возможно более простой вид. Если такое
ограничение возможно (а это зависит уже от объективных свойств
пространства-времени), то получаемые таким путем привилегированные
координатные системы будут более непосредственно связаны с этими
свойствами и будут допускать более прямое физическое толкование. В
рассматриваемом здесь случае такой привилегированной системой является
галилеева система координат, которая получается, если в общем решении
(45.13) положить fk - Xк.
Но можно оставить функции Д. неопределенными и формулировать уравнения
физических процессов, не предрешая выбора независимых переменных. Так,
например, закон распространения фронта волны будет тогда выражаться
системой уравнений (45.06), (45.11), (45.12) для неизвестных функций ш и
gv-'1. Аналогично будет выражаться закон движения свободной материальной
точки. Другие примеры такой общековариантной формулировки мы дадим в
следующем параграфе.
1-[ Зак. 135. В. А. <1чж
210 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ [гл. IV
§ 46. Уравнения математической физики в произвольных координатах
Если известна тензорная форма тех или иных дифференциальных уравнений
математической физики в галилеевых координатах, то в произвольных
координатах соответствующие уравнения получатся путем простой замены
обыкновенных производных ковариантными. Это правило применимо также и к
уравнениям, содержащим вторые и высшие производные, так как, согласно
общей формуле (43.21), при условии /?ц,, "р = 0 ковариантное
дифференцирование любого вектора или тензора коммутативно.
Рассмотрим сперва уравнения электродинамики.
Так как линейная дифференциальная форма (24.04)
b<s = A,dx, (46.01)
есть инвариант, то входящие в нее составляющие потенциалов представляют
ковариантный вектор также и по отношению к общим преобразованиям
координат. Дифференциальное соотношение (24.05), налагаемое на
составляющие потенциалов, может быть написано в виде
VH4 = 0, (46.02)
где Ау - контравариантные составляющие
А4 = g^'A^. (46.03)
Согласно (41.08), уравнение (46.02) в раскрытом виде напишется
-/== д- (V"-~g A4) - 0. (46.04)
V-gdx-,
Связь между потенциалами и полем дается формулами
= (46.05)
Но, как мы уже отмечали в § 41, при составлении разности (46.05) члены,
отличающие ковариантные производные от обыкновенных, сокращаются, и мы
будем иметь для антисимметричного тензора поля выражение
дА, дА,
= (46-06>
совпадающее с (24.10). Первая группа уравнений Максвелла - Лоренца,
которая в обычных обозначениях имеет вид
curlE + y^'= 0; divH = 0, (46.07)
напишется теперь, согласно (24.17):
= 0. (46.08)
§ 46) УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 211
где -вполне антисимметричный *) тензор третьего ранга, который выражается
через Р по формуле
= У с? (ivH-V3-f- V,,F "у (46.09)
представляющей обобщение (24.12). Но, согласно формуле (41.28), это
выражение равно
dF,,., dFia dF
<46-11°)
так как тензор F антисимметричен.
Таким образом, формула (24.12) остается без изменения. Напишем теперь в
произвольных координатах вторую группу уравнений Максвелла-Лоренца,
которая в обычных обозначениях имеет вид
div Е = 4ир; curlH-}^ = ^j. (46.11)
Согласно (21.20), левые части (46.11) представляют контравариант-ную
расходимость тензора поля, которая в общих координатах напишется,
согласно (41.25):
Vv/^' = (V~gFn (46.12)
V-g дхч
так как тензор поля антисимметричен. В правых частях (46.11) стоит
умноженный на 4т: контравариантный вектор тока, т. е. вектор
si>. _ 4¦K-J*uv-t (46.13)
где р* - инвариантная плотность, а - контравариантная скорость заряда.
Таким образом, в общих координатах уравнения (46.11) примут вид
