Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Приведем для иллюстрации табл. 11, в которой показаны результаты вычислительного эксперимента по решению некоторых уравнений мношсеточным методом. Основная сетка имела 108 х 108 узлов, первая вспомогательная (Я = ЗЛ) — 36x36, вторая — 12x12. В табл. 11 показаны вид аппроксимируемого оператора, шаблон аппроксимации, п — число итераций, затрачиваемых на сглаживание невязки, предшествующее обращению к вспомогательной задаче, и, наконец, средняя скорость убывания невязки с номером итерации і. При этом і — это число итераций на основной сетке 108 х 108, включая время работы, затрачиваемое на решение вспомогательных
176
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
Таблица 11
№ Оператор Шаблон п IkMl
1 1 4 0.38/
2 ихх + иуу 1 -4 1 8 ?-0.42 /
3 1 10 g—0.38/
0.05 0.95
4 11XX +1-9иху + иуу 0.005 -2.1 0.005 10 g—0.18/
0.95 0.05
-0.4 0.7 0.4
5 uvy+ 1.6uv„ + 0.7iiv„ 1 -3.4 1 10 Є-0.Ш
0.4 0.7 -0.4
-0.4 1 0.4
6 их х + I '^u ху + иуу 1 -4 1 10 ? — 0.18/
0.4 1 -0.4
0 -0.1 0.6
7 8 ? — 0.13/
8 Uxx + 1.2иХу +OStiyy 0.4 -1.8 0.4 10 ?-0.125/
0.6 -0.1 0
1.1 -0.6
9 ихх + 1.2 иху + OSuyy 1.6 -4.2 1.6 10 е-0.13/
-0.6 1.1
0.3 0.7
10 ихх + I .4^ + 0.5иуу 0.3 -2.6 0.3 8 ?-0.37/
0.7 0.3
-0.7 1.7
11 ихх +IAux +и 1.7 -5:4 1.7 8 ?-0.18/
1.7 -0.7
РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
177
задач (в единицах, равных времени на одну итерацию на основной сетке).
В дальнейшем многосеточный метод был усовершенствован. Усовершенствования касались таких деталей, как способ вычисления невязки R на //-сетке через невязку г на /г-сетке, форма основных итераций, методы интерполяции с H- на /г-сетку, и некоторых других. Все эти технические усовершенствования сделали алгоритм одним из наиболее эффективных, выдерживающих конкуренцию даже с некоторыми узкоспециализированными, применимыми только к задаче Пуассона (уравнение с постоянными коэффициентами Ды = /) в квадрате.
Замечательным оказался тот факт, что и алгоритм метода, и теорема о независимости скорости сходимости от шага сетки, выдержали обобщения при усложнении задачи за счет переменности коэффициентов, произвольного вида области и т.п. Однако наибольшая популярность и широта применения метода в настоящее время связаны с его приложением к такому мощному средству решения эллиптических задач, как метод конечных элементов. Основные идеи этого способа построения аппроксимирующей конечномерной задачи были изложены в § 3.
Напомним, что характерной особенностью системы линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих, например, задачу Пуассона в достаточно произвольной области, являются высокий порядок системы (достигающий в современных расчетах IO4-MO5) и слабая заполненность матрицы. (Эти черты присущи и системам метода конечных разностей в прямоугольной области.)
Следующее свойство специфично для метода конечных элементов. Расположение ненулевых элементов в матрице системы не имеет такой простой и удобной структуры, с которой мы до сих пор имели дело, применяя метод сеток в простых областях. Это делает невозможным применение наиболее эффективных итерационных методов (переменных направлений, например). Пожалуй, единственный из знакомых нам методов, который в такой ситуации может быть использован, — это метод простой итерации с чебышевским ускорением. Ho его эффективность недостаточна для решения сложных задач, поэтому в методе конечных элементов обычно используются «ленточные» варианты метода исключения Гаусса, что все-таки является довольно дорогой операцией, часто вынуждающей ограничиваться расчетами на относительно грубых сетках.
При описании основных идей метода конечных элементов специально было обращено внимание на процедуру автоматической триангуляции «произвольной» области, при которой возникает иерархическая структура вложенных друг в друга сеток. Она позволяет удобно реализовать алгоритм многосеточных итераций.
Комбинация техники метода конечных элементов с многосеточным итерационным алгоритмом привела к созданию мощных
178
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
средств вычислений. Надо отметить, что логическая структура метода заметно сложнее, чем структура методов, описанных выше. Это приводит к определенным трудностям в программной реализации. Поэтому в цростых задачах обычно предпочитают более простые с точки зрения программирования методы, хотя они работают медленнее.
Формирование задач на вспомогательных сетках. Рассмотрим две сетки — основную и первую вспомогательную, которую назовем грубой. В современной практике приходится строить грубую сетку, учитывая геометрию области, разрывы коэффициентов и т.п. Все это приводит к тому, что грубая сетка не имеет такой простой связи с основной, как было описано выше. Например, грубая сетка может формироваться так: задается список номеров основной сетки Ici, і-й узел грубой сетки совпадает с Ici-м узлом основной. Имеется в виду сетка по переменной х. Аналогично, списком Tnj определяется сетка по у.
