Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
2. Затем по известной и* находится функция ul+i из уравнения
T
и* = U1 = <р,
(к, т) на границе
и
T
дх2
д и
—--------/, (к, т) внутри,
Ліг
ду1
(к, т) на границе
и
= и = <р,
(серией прогонок по вертикальным линиям сетки за O(Nz) операций).
160
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
ІЧ.І
Анализ сходимости. Здесь точный результат дает спектральный метод исследования. Уравнения для погрешности получаются известным способом — вычитанием из формул итераций тождества для решения ик т (системы разностных уравнений):
Очевидно,
и —и д2и і д2и ,
* ~дх2 ду2 J'
_эУ . а V
1 дх2 ду2
dxL
+
ду
2 ’
Рассмотрим эффект одной итерации в терминах коэффициентов Фурье. Разложим V1 в сумму:
v‘ = 2 ск яzP'q-
Р. ч
Легко проверить, что zp' ч суть собственные векторы разностных операторов д2/дх2, д2/ду2, которые действуют в пространстве двумерных сеточных функций, обращающихся в нуль на границе квадрата:
aV"?'
дх
к, т
к, т
(О < / «? Vp, X” $ L; здесь /» л2, L = 4N2). Разложим в сумму и и*:
Vt=sIcP.,**4-
Р<4
Представим связь между и* и и' в виде
а*
и* = \Е + т
В терминах рядов Фурье имеем
Е~'Ь
Вводя операторы под знак суммы, получаем
2 с’р,я (1 + * о - * K^p'4-
В силу единственности разложения функций по базису {zp' ч} приходим к соотношению для коэффициентов Ctp :
1 — т X"
РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
161
Точно так же анализируется вторая «полуитерация», и для коэффициентов C1p 1 получается соотношение
... \—хХ ?W + 1 — P
Р. 4
Введем функцию
1+хХ"
1 — г X’ 1 — т X"
P Я С1
1 -f- т Xf' I -h т X1 P' ^ Я P
g(x) = max
I — х X
1 +х X
l^X^L'
Очевидно, Sg g2(x) \ Cip qI, V р, q; следовательно, ||и' + ||| «=
g2(T)lll,,ll> и наконец, И г»11) =S g2'||u°ll- Теперь осталось найти наилучшее значение для параметра т, т.е. min g(x).
X
Итак, нужно решить задачу: найти
1 — т X
I
mm і max
I + т X
Задача решается по знакомой схеме. Соотношение 1 —т X
max
IGX*?L
1 *+¦ т X
1-х/ I-xL
= max I + xl » 1+xZ.
проверяется простым анализом графика при разных т. Построим график функции
1 — т / I I 1 — т L I
g(x) = max
I +X l\
I +X L
If
Минимум g(x) достигается в ситуации 1-х/ I—TL
1 +х I
I +X і
1— т / + т L — X2IL =
= X2IL — I — xl 4- xL
Ix2IL = 2.
Оптимальное значение итерационного параметра т0П1 = HVTJ. Вычислим теперь gonT:
?0пт = s( топт) = f+j/vtf 1 — 2V77T,
т.е. за одну сдвоенную итерацию погрешность уменьшается в «опт» I - 4V^TT раз.
Таким образом, эффективность метода переменных направлений при едином оптимальном значении параметра оказывается примерно такой же, как при чебышевском ускорении: для получения
ElIu0II требуется i(e) & In E-1 итераций.
1833
162,
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Метод переменных направлений с серией параметров. Естественно, возникает идея перейти от одного параметра топт к серии итераций со своим значением Xj на каждой. Действительно, эта идея оказывается весьма плодотворной. Очевидным образом обобщая проделанные выше выкладки, получаем соотношение между коэффициентами Фурье V1 и и0:
р. я
= ПТ
/=I
T , X"
_ -J-S- с- . + т Д1 1 т А" ^
„о
і ч
Выбор «оптимальной» серии т{, т|, ..., т) приводит к минимаксной задаче
mm
max
п
1 — т. А
I + Xj А
Это уже достаточно сложная задача. Она была решена в 1960 г. Е. Вашпрессом, однако в дальнейшем было обнаружено, что еще в начале века решение было получено по другому поводу Е. И. Золотаревым. Тем не менее оптимальные итерационные параметры называют параметрами Вашпресса.
Мы не будем здесь излагать точное решение задачи и следующий из него алгоритм расчета оптимальной серии параметров. Существует достаточно простой рецепт выбора параметров, дающий эффект, близкий к оптимальному. Эта конструкция хорошо иллюстрирует характерную в таких вопросах идею «равномерного подавления компонент погрешности». Имеется в виду, что каждая итерация со своим значением т эффективно гасит свою часть фурье-разложения погрешности; итерация эффективна на своей части спектра. А в совокупности полный набор параметров обеспечивает погашение всей погрешности. Ta же идея, очевидно, лежит и в основе метода чебы-шевского ускорения простых итераций.
Введем функцию g(?) = (I — 5j)2/(l + ?)2 и переформулируем минимаксную задачу:
mm
max H g(xjk)
/ = I
Если приближенное решение задачи даст оценку І
для всех X Є [/, Z.],
J=і .
мы получим IIviII ^SiIIv0II, а «средняя эффективность» одной итерации будет, очевидно, (.
РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
163
Выберем некоторое 0 < 1 и выделим интервал, на котором g(Jj) $ 0. Его границы обозначим через А(0) и П(0). Итак, g(?) $ 0 при ? Є [Л(0), П(0)] и g(?) < 1 на остальной части положительной полуоси. Параметр T1 выберем так, чтобы левая граница 0-интервала функции g(xtX) совпала с /: T1Z = Л(0), или T1 = Л(0)//. Тогда правая граница 0-интервала функции g( T1X) определяется соотношением T1X = П(0), т.е. X = ЩО)/^ = I П(0)/Л(0).
