Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Приближенное решение будем искать в виде сеточной функции, т.е. в виде функции дискретного аргумента п; обозначим ее как 1хп}п=о- Напомним, что каждый хп есть р-мерный вектор. С содержательной точки зрения хп будет представлять (приближенно) значение искомой функции x(t) в узле tn: хп & x(tn).
Сеточная функция {хл} не может удовлетворять никакому дифференциальному уравнению, и нужно построить какие-то другие уравнения, из которых можно было бы найти функцию {хп} и притом так, чтобы она была приближенным решением исходной задачи.
-^ = /(*,/), х(0) = х0, О =S г =S Т.
(1)
0 = ґ0< t2< ... < tN~T, или {fj*
nl n = O-
§5]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОДУ
59
Такие уравнения (так называемые разностные уравнения) строятся очень просто: входящие в дифференциальные уравнения производные заменяются соответствующими разностями. Это можно сделать разными способами, и они приводят к разным уравнениям. Например,
X — X
—~ = f(xn,tn) (явная схема Эйлера), (2)
X — X
—1—- = /(xtt+i, *„+i) (неявная схема Эйлера), (3)
X — х
"^12t — f(xn, tn) (схема с центральной разностью). (4)
Ограничимся пока этими простыми примерами, ниже мы рассмот-
рим и более сложные схемы.
Первая проблема, с которой мы сталкиваемся при решении разностных уравнений, — это фактическое определение хп. Во всех случаях значения хп определяются последовательно, слева направо. Особенно просто вычисляются хп при использовании явной схемы Эйлера:
ХП+1 = ХП + х А*»’ " = °> •••’ N~ L
Здесь х0 известно (данные Коши). В правой части этой формулы используются уже найденные значения хп.
В случае неявной схемы Эйлера ситуация несколько сложнее. Пусть значение хп уже найдено. Тогда хп+1 находится из уравнения
= + */(*„+1. « (^)
которое является нелинейным относительно неизвестного хп+1. Правда, это слабая нелинейность, так как перед / стоит малый множитель х, что делает уравнение (5) не таким уж сложным. Интуитивно, ясно, что хп+1 мало отличается от хп, т.е. хп есть очень хорошее начальное приближение для какого-либо итерационного метода определения хп+1 (см. § 1).
В схеме (4) мы сталкиваемся с характерным явлением: формальные порядки дифференциального и разностного уравнений не совпадают. Под формальным порядком мы понимаем число произвольных постоянных в общем решении, или, если угодно, число дополнительных данных, полностью определяющих решение. В схемах Эйлера (2) и (3), как и в дифференциальном уравнении, достаточ-йо задать х0, чтобы все остальные значения X1, х2, ... определялись однозначно. В схеме (4) ситуация иная: только задав х0 и X1, мы определим X2 = X0 + х f(xt, ^1) и т.д.
60
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч. I
Значение X0 определяется постановкой задачи, X1 формально можно задать каким угодно. Фактически, конечно, если мы стремимся получить хорошие результаты, X1 нужно задавать достаточно аккуратно. Например, приемлемым (но не лучшим) является X1 = X0. Лучше (и правильнее) вычислять X1 по какой-либо более простой разностной схеме, например по явной схеме Эйлера: X1 = х0 + г /(х0).
Обсудим некоторые вопросы, естественно возникающие при построении и использовании разностных схем. Первый вопрос: чем следует руководствоваться при построении разностных уравнений? Интуитивно ясно, что разностные уравнения (2)-(4) имеют прямое отношение к исходному дифференциальному уравнению хотя бы потому, что в пределе (при т —» 0) они переходят в (1). Ho это соображение нужно четко оформить и дать ему количественное выражение. Таковым будет фундаментальное в вычислительной математике понятие аппроксимации.
Второй вопрос. Пусть разностное уравнение явно «соответствует» дифференциальному. Ho значит ли это, что его решение {х„} в какой-то мере аппроксимирует решение дифференциального уравнения? Так мы приходим к другому фундаментальному понятию — к сходимости разностной схемы. Правильнее и аккуратнее было бы сказать: сходимость решения разностного уравнения к решению дифференциального при т —»0. Ho мы будем использовать «жаргонное» выражение «сходимость».
Перейдем к аккуратному оформлению этих понятий. Рассмотрим следующие математические объекты:
1) дифференциальное уравнение
^- = f(Sf,t), Sf(Qi) = х0
и его решение Sf (t);
2) ограничение функции Sf (і) на сетку {tn}, т.е. сеточную функцию {s?j^0, r«e = *<Х);
3) разностное уравнение (например, явную схему Эйлера или еще какую-нибудь) и его решение {х„}.
Мы будем иметь дело с последовательностью сеток, соответствующих уменьшающимся шагам х -* 0, так что при стремлении к полной аккуратности следовало бы каждый объект пометить еще индексом х: Sfxn, х\ и т.д. Этот индекс X неявно везде следует иметь в виду.
Определение. Говорят, что разностное решение сходится, если
Iim \\Sfxn — xj| = 0, и = 0, I...N = Т/х.
г~*0
Если установлена оценка
Il^tn - CxP, n = l,2,...,N,
§5]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОДУ
61
где С не зависит от т и п, то говорят, что установлен р-н порядок сходимости, а схема имеет р-й порядок точности.
