Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Федоренко Р.П. -> "Введение в вычислительную физику" -> 18

Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику — М.: Физ-тех, 1994. — 528 c.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка): vvedenievvichesleniyah1994.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 210 >> Следующая


Выше были приведены характерные геометрические задачи, которые легко решаются, если мы имеем перед собой чертеж триангуляции, на котором около каждого узла указан его номер п, а в каждом треугольнике — его номер т. Алгоритмизация, т.е. перевод этих «интуитивно» очевидных способов решения на чисто цифровой способ задания и обработки информации, — увлекательное и часто очень непростое занятие, особенно если строятся не просто принципиально верные алгоритмы, а, например, оптимальные по числу операций.

Реализация метода конечных элементов, не содержащая на первый взгляд серьезных трудностей, в действительности требует решения большого числа вспомогательных задач (некоторые из них были указаны выше). Кроме того, метод конечных элементов требует и достаточно больших объемов оперативной памяти ЭВМ. Этим в известной мере объясняется тот факт, что развитие и широкое внедрение в расчетную практику метода конечных элементов произошло в США, хотя основополагающие теоретические работы в этой области принадлежат чешскому математику М. Зламалу.
46

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

[Ч.І

Некоторые сведения о полиномах Чебышева. Как это принято в теории аппроксимации, будем рассматривать стандартный интервал изменения независимого переменного [—1, 1]. Полиномом Чебышева, или полиномом наименее уклоняющимся от нуля, степени р называют полином, реализующий

Здесь min берется по всем полиномам степени р, нормированным условием: коэффициент при tp равен единице. Иногда эту задачу трактуют и как задачу наилучшей (в норме С) аппроксимации функции tp полиномом степени не выше р— 1. Чебышевым была указана явная формула

Правая часть, несмотря на тригонометрическую форму представления, в действительности является именно полиномом от t степени р.

Если нас интересует полином, наименее уклоняющийся от нуля на произвольном интервале [а, Ь], следует сделать замену переменных

которая переводит интервал — I < / ^ 1 в a ^ х ^b. Очевидно,

Множитель [(b— а)/1\р введен для сохранения нормировки: коэффициент при хр в Тр(х) равен единице.

Легко вычислить корни полинома Чебышева, используя его тригонометрическое представление (14):

Для к =1,2, ...,р получаем разные корни. Их значения имеют простую геометрическую интерпретацию: полуокружность единичного радиуса нужно разделить на 2р равных частей и из каждой нечетной точки деления опустить перпендикуляр. Отметим, что плотность корней повышается на концах интервала [—1, 1]. Корни че-бышевского полинома на произвольном интервале [а, Ь] суть

min {max ITp(OI).

Tp(t)=—г cos {р arccos t}.

(14)

а+Ь і Ь—а 2 2

• Полиномы Чебышева являются хорошим базисом в пространстве функций, заданных на каком-то интервале, для определенности на
§3]

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ

47

[—1, 1]. Базис — важное понятие в приближенных методах. Напомним, что это система функций, обладающая свойством полноты, т.е. другие функции можно сколь угодно точно представлять конечными суммами (линейными агрегатами) функций базиса с числовыми коэффициентами.

Кроме свойства полноты, с практической точки зрения важна «цена» (в числе операций) вычислений функций базиса. С этой точки зрения удобен степенной базис {1, t, t2, ..., tn, ...}. Он является полным. Полином с коэффициентами а0, av ..., ап вычисляется достаточно просто. Обозначая частичные суммы через

h = 2 at

і—к

полином S0 вычисляем рёкуррентно:

sn ~ ап’ sJt-I ~ aJfc-I tsk>

т.е. за п сложений и п умножений.

К сожалению, степенной базис обладает серьезным дефектом: он плохо обусловлен. Плохими являются такие базисы, элементы которых хотя и линейно независимы, но очень «похожи» друг на друга. Рисунок 6 поясняет, что имеется в виду.

Точка А в плохом базисе имеет представ- -. f->

ление ^tp1 + а2<Рг с очень большими, противоположными по знаку и близкими друг к другу по модулю коэффициентами

O1, аг. Вычисление такой суммы сопровождается уже знакомым нам неприятным явлением — сокращением знаков.

Итак, плохой базис — это «сплюснутый» базис. Если читатель потрудится «нарисовать» графики функций t20, t2i, ..., t30, едва ли он отличит их друг от друга, и это заставит его насторожиться. Если читатель сможет найти аппроксимацию какой-либо нормальной функции полиномом высокого порядка, он увидит, что коэффициенты растут очень быстро при повышении степени (т.е. при уменьшении погрешности аппроксимации). При не таких уж больших степенях (при р, равных 20, 30, 40) они достигают столь больших величин, что вычисление полинома на ЭВМ, имеющей 10—15 десятичных знаков в мантиссе машинного числа, оказывается невозможным из-за полной, потери точности.

Вспомним, что совсем не так ведут себя коэффициенты разложения какой-либо функции по такому хорошему базису, как тригонометрический: коэффициенты Фурье «честно» убывают в соответствии со степенью гладкости функции. Хорошими базисами являются ортогональные или близкие к ним. Это одна из причин, определяющих
48

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

большую роль различных ортогональных систем функций в приближенных методах. Полиномы Чебышева с этой точки зрения хороши, Они образуют ортогональную (правда, в специальной метрике с весом) систему функций:
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed