Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
4. Перенос энергии. Если частица с номером к имеет тип а и переходит из одной ячейки C1 j в другую, она переносит с собой полную энергию
Awk = тк (^0i ,. J + Ц'J>
Теперь можно вычислить полную энергию вещества типа а, находящегося в ячейке CiJ. На промежуточном этапе эта величина есть
O1 = CX
(суммирование по всем частицам типа а, находящимся в момент tn В ячейке Cjj).
В момент времени in+l полная энергия изменится за счет пере-¦ носа в соответствии с формулой
<, U = К и - Ґ Awk + Ґ AwV
а,=а Cti = Ct
где первая сумма берется по всем частицам, покинувшим ячейку Ci j, а вторая — по всем частицам, пришедшим в ячейку Ci j. Pa-
358
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
зумеется, учитываются только те частицы, у которых ак — а. Завершается шаг вычислением величин Effij по формулам
Дивергентность РІС-метода. При конструировании разностных схем приближенного интегрирования уравнений газовой динамики, как правило, стремятся обеспечить дивергентность разностных уравнений. Другими словами, стараются получить дискретную модель среды, в которой выполняются простые и наглядные аналоги законов сохранения основных физических величин: массы, импульса и полной энергии. Их изменения внутри области (взаимодействия потоков с границами мы сейчас не рассматриваем) должны определяться только «перетеканием» из одной части пространства в другую. He должно быть так называемых «разностных» источников (стоков) этих величин. Покажем, что PIC-метод удовлетворяет этим требованиям.
I. Сохранение массы. Проследим эволюцию массы в ячейке C1 j при переходе от момента времени tn к tn+l. Эта величина, как указывалось, вычисляется двумя способами, согласованными между собой:
На первом этапе масса просто сохраняется: Mij = Mni j.
На втором этапе изменение массы осуществляется за счет перемещения частиц. Можно ввести потоки
Итак, П??у есть количество вещества типа а, перенесенное потоком за время (tn, tn+,) в ячейку Ci j через «границу» между ячейками (г, у) и (/', у'). В терминах потоков изменение массы можно выразить
. (18)
а
так:
§ 23]
РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
359
Дивергентность этой формулы есть следствие очевидного соотношения Ylia-Jl j = —Пa/vj'- Таким образом, в расчетной схеме закон сохранения массы выполнен по всем веществам отдельно.
II. Сохранение импульса. Ограничимся анализом изменения только одной компоненты. На первом этапе импульс ячейки Ci ¦ изменяется от Mf -Uni j до Mni JUi j по формуле
Mij4j = Mhulj+™UJ + n\:jl'J, KiCIj= + At pi±Wj.
Дивергентность связана с соотношением П|±у1--' = -H11-J1 j.
На втором этапе импульс изменяется по формуле
і і
МП+.1иП+.1 = M- и- +У У Yl‘-+f-J+m.
I, J IsJ IiJ 1 Z* hJ
l — — \ т =—I
Выражения для потоков и свойство П-'j' = —П-;^, предоставим вывести читателю (они в сущности очевидны). Полное изменение импульса за шаг есть
і і
MiVuTi1 = Mi мі і+ у у п;+/,у+т-
l>J h J 1>J Z-/ I,J
/ = -1 n = -1
Здесь, конечно, значения двух потоков пересчитаны:
П'.±.1'-':=Ш±.1"' + П'±.1’-'.
I,J I ,J l,J
III. Сохранение энергии. He будем выписывать потоков полной энергии из ячейки в ячейку и проверять их «кососимметричность». Это почти очевидно. В проверке нуждается дивергентность по времени. Напомним схему вычисления энергии. На первом этапе из величин En ; . образуется полная энергия ячейки:
АЧ j = 2 К. л jEl,. j + Mnl j + (19)
а
Для вычисления полной энергии используется дивергентная схема Ii2Wij — h2wnj + ... Далее величина Wi j определяет значения Еа< itJ.
На втором этапе из величин Ea . . образуются значения полной энергии вещества а в ячейке wa ; j, и для каждого из них используется дивергентная схема и»"Y/ = , ;+••• (потоков мы явно не
выписываем, при последующих выкладках они остаются кососим-
360
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
метричными, дивергентность схемы по пространству очевидна). Суммируя по а, получаем дивергентную схему
<7 = ”/,; + •••’ »и = 2 iW К7 = 2 <і,г
а а
Для того чтобы установить дивергентность по времени, нужно проверить равенство Wj J = Wi J И ТО, ЧТО w" у1 вычисляется по формуле типа (19). Проверим первое равенство, сравнивая выражения для Wi j и Wi у.
^.. = миЁи+Ми^^‘А (20)
ЛЧу = E К и А U + Kj (21)
а
Для величин Еа< і j использована формула Еа< ( = En (>/- + A1 у, где
Aij = EiJ-EIj, a EniJ вычислялась через w? ¦ (см. форму-
лу (19)), т.е. из соотношения MIjElj = ^MntijEn i у-.
а
Вычислим входящую в (19) внутреннюю энергию:
2 < і. А /.у=2 < и u + А, - eIу)} =
а а
= 2 К UeI и+Я, Ay - Я,у??,у = Mu Eu.
а
Таким образом, установлено равенство Wi- = Tvii j.
Для того чтобы установить второе равенство, обратимся к формуле (18) для вычисления En+jlj, переписав ее в виде
(ип+1)2 + (ч"+1)г
H2Wn*1 ¦ = Mn+l En+l +Mn+l —ы^—
п "a, l,j lvlO., I, J1-1O, |,у “ lvla, |, / 2
Суммируя по а, получаем
(ц"+|)2+(«"+1)2
2 <tj = h2KV = 2 aC/! JeI+U + мі у 2-^,
