Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
В лагранжевых координатах близкими всегда считаются те частицы, которые были близки в начале процесса. Это приводит к тому, что разностные формулы в лагранжевых координатах с течени-
350
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
ем времени теряют точность до такой степени, что расчет не заслуживает никакого доверия. Первоначально прямоугольные ячейки постепенно деформируются, теряют даже форму параллелограммов, а в особо сложных случаях часто наблюдается «выворачивание» лаг-ранжевой ячейки.
PIC-метод (метод частиц в ячейке). PIC-метод (Particle-In-Cell,) был предложен и разработан Ф. Харлоу (Лос-Аламос) в 1955 г. и является типично американским. Этот метод требует большого объема оперативной памяти и большого числа арифметических операций, поэтому в нашей стране он нашел применение лишь в последние годы — после ввода в эксплуатацию мощных машин серии ЕС. Теоретическое обоснование метода, видимо, до настоящего времени еще не получило законченной формы, а первоначально метод имел чисто прагматическое оправдание. С его помощью были проведены расчеты очень сложных течений.
Хотя точность проведенных расчетов признается не всеми и большинство вычислителей согласны с тем, что она не очень высока, качественная картина, полученная в расчетах, выглядит убедительной и правдоподобной. А если учесть, что попытки проведения подобных расчетов другими методами приводят обычно к явно недостоверным результатам, легко понять популярность PIC-метода. Характерная ситуация, в которой PIC-метод демонстрирует свои преимущества перед иными, — это течение среды, первоначально разделенной на простые по форме области, заполненные разными веществами. В процессе течения эти области сильно деформируются и перемещаются в пространстве.
Для расчета подобных течений неудобны как эйлерова сетка (происходят большие перемещения контактных границ в геометрическом пространстве), так и лагранжева (происходит сильная деформация первоначальной лагранжевой сетки). PIC-метод — это попытка совместить достоинства эйлерова и лагранжева описаний течений сплошной среды.
Перейдем к описанию вычислительной схемы метода.
Эйлерова сетка. Область течения покрыта неподвижной в пространстве сеткой. Для простоты будем считать шаг сетки h постоянным, одинаковым по х, у. Ячейки сетки занумерованы парами индексов 2, у. Величины, которые в дальнейшем помечаются индексами 2, у, трактуются либо как относящиеся к ячейке в целом, либо (при разностной аппроксимации уравнений) как относящиеся к центру ячейки.
Основные счетные величины. В центрах счетных ячеек определены величины Uni J, Vn j — компоненты скорости среды (индекс п показывает их принадлежность,ко времени tn). Совокупность чисел /0, ..., tn, ... образует временную сетку, вообще говоря неравно-
§23]
РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
351
мерную; <n+I = tn + тп+|/2 (шаг хп+1/2 выбирается на основе соображений точности и устойчивости в зависимости от состояния среды в момент tn). Кроме того, в ячейках (i, j) определены величины
(a= U 2,...,А).
Поясним их смысл. Иногда ради удобства мы будем опускать индексы i, j, но не следует забывать, что эти величины — свои в каждой ячейке. Напомним, что в задаче изучается течение в области, заполненной в разных частях веществами с разными физическими свойствами (а — номер вещества). Вообще говоря, в данной ячейке может быть либо одно вещество, либо несколько разных. В каждой ячейке (і, у) в данный момент времени In индекс а пробегает свой (зависящий от i, j, п) набор значений. Проще будет считать, что индекс а пробегает все допустимые в данной задаче значения. Однако если вещества с номером а в данной ячейке нет, то соответствующие значения Е* = М" = 0. Физический смысл этих величин таков: Ea . . — удельная внутренняя энергия вещества с номером а, в момент времени tn находящегося в ячейке (і, /); М" ; . — масса этого вещества.
Кроме переменных и, V, Е, М, в расчете участвует большое; число «частиц». Будем нумеровать эти частицы индексом к. Число частиц должно быть много ббльшим числа ячеек: на каждую ячейку в среднем должно приходится, как минимум, пять-десять частиц. Каждая к-я частица в момент времени tn характеризуется следующими величинами: Ynk — координаты положения
частицы; тк — масса частицы (не зависящая от t); ак — номер вещества, из которого «состоит» частица с номером к (к = 1,2, ...,К).
Это — основные счетные величины, полностью характеризующие (в принятой расчетной модели) состояние среды. Все-естальные величины, которые появятся в дальнейшем, носят вспомогательный характер и выражаются через основные. Стандартный шаг интегрирования задачи состоит в переходе от величин {и, v, Ea, MJlj,
(Ar, Y)l к величинам {и, v, Ea, (Ar, У}"+1 (переход на сле-
дующий временной слой).
Расщепление уравнений газовой динамики. Математическая задача, которую предстоит решать, состоит в интегрировании уравнений газовой динамики, записанных в эйлеровой дивергентной форме
(3). Обозначим плотность полной энергии w = р [е + (u2 + v2)/2], где є — удельная внутренняя энергия, связанная с р и р уравнением состояния р= Ра(е, р), своим для каждого типа вещества.
