Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
определить подходящий весовой множитель р(0). Прежде чем проводить
вычисления, мы приведем результат: р(0) = |Д|2, где Д- знаменатель в
выражении (18.29).
Доказательство этого результата мы начнем с равенства (П4.15). Нужно
вычислить якобиан (дс/да)а = о, где через а и с обозначены N2 параметров
унитарных преобразований, и U (с) = U (a) U (Ь). Для произвольной
унитарной матрицы U в качестве N параметров мы возьмем углы 0,-, которые
получались в § 11 при диагонализации матрицы U. Оставшимися N2-N
параметрами определяется матрица, которая приводит матрицу U к диаго-
280
Глава IS
нальному виду. Без потери общности мы, можем считать матрицу U (Ь)
диагональной (этим определяется базис векторов) с матричными элементами
(Ь) = 8,- (в обозначениях предыдущего параграфа). Поскольку нас
интересует лишь предел при а -с 0, достаточно рассмотреть только малые
параметры а, при которых произвольная матрица U отличается от единичной
матрицы на анти-эрмитову матрицу
Здесь А/2 параметров aif действительны и независимы. По правилу обычного
матричного умножения получаем матрицу U (с):
Так как матрица U(c) почти диагональна, ее легко представить в виде U=*V-
1WV, где W-диагональная матрица. Пренебрегая членами второго порядка по
параметрам аи, получаем
а12 ~Ь 1а2\
ei/e2 - 1
\
а12 ~Ь 1Q21
V(c)= eB/Sl -1
/
W (с) =
(1-iau) 8j О О (1- m22) s2
\
/
Унитарная группа U^
281
Равенством U = V-1WV матрица V не определяется однозначно, так как ее
можно умножить слева на любую диагональную матрицу. Воспользуемся таким
произволом и положим диагональные матричные элементы равными +1. Возьмем
теперь в качестве N2 параметров матрицы U(c) N углов 0., задаваемых
матрицей W (с), т. е. 0< = 6,- + °"> а также действительные и мнимые
части недиагональных матричных элементов матрицы V (с), а именно:
с12 = а12 Re {(sj/Bjj - I)-1}-а21 Im {(e^e-s-I)-1}, cn = ai2 Imj^/ea -
l)-1} + a21 Rej^/ea -I)-1}.
Тогда якобиан (дс/да) легко вычисляется. Поскольку dQ'ildaJk = biJbjk,
первые N строк и столбцов определителя (дс/да), соответствующих
параметрам 0t- и а,-,-, образуют единичную матрицу. Оставшаяся часть
определителя равна произведению 1!iN (N - 1) множителей типа
дс^2/дц^ 2 dr 12 ! да2 i dc21/da12 dc21/da21 Поэтому весовой множитель
имеет вид
П (8, - еу)
I < /
= |А|а.
так как произведение совпадает с определителем в знаменателе дроби
(18.29).
Соотношение ортогональности (18.30) можно проверить на примере характеров
%("\ определяемых соотношением
(18.29). Таким же методом, как и в гл. 4, § 12, при этом можно доказать
неприводимость и полноту представлений. Заметим, что весовой множитель
р(0) сокращается со знаменателями характеров %* и % в подынтегральном
выражении в формуле (18.30).
§ 13. ГРУППЫ SU2 И 5?з
Рассмотрим более подробно частный случай, а именно группу SU2.
Первоначально она была введена в гл. 10, § 1 для описания изоспина. В
данном параграфе мы покажем, что группа SU2 имеет три инфинитезимальных
оператора, перестановочные соотношения для которых совпа-
282
Глава 18
дают с перестановочными соотношениями для группы 5?3. Следовательно, всю
теорию представлений, изложенную в гл. 7 для группы 5i3, можно перенести
на этот случай. Здесь мы подробнее остановимся на связи между параметрами
матриц из группы SU2 и параметрами преобразований вращения. На самом деле
эта связь не взаимно однозначна, т. е. можно говорить о гомоморфизме
групп, а не изоморфизме, что делает понятной двузначность представлений
группы М3. Использование группы SU2 дает также новое множество параметров
для описания вращений. Они называются параметрами Кзли - Клейна'и очень
удобны при вычислении параметров произведения двух вращений.
А. Параметры группы SU2
Обозначим через ех и е2 пару ортонормальных базисных векторов в двумерном
пространстве. Они не имеют отношения к осям х и у в физическом
пространстве. Произвольный элемент группы U2 задается теперь унитарной 2х
2-матрицей. Как нетрудно убедиться, все аксиомы группы выполнены.
Например, произведение двух унитарных матриц-также унитарная матрица.
Произвольная комплексная 2 х 2-матрица содержит 8 действительных
параметров, но условие унитарности налагает на них четыре соотношения.
Для описания общего элемента группы U2 остается 4 параметра. Общий
элемент удобно записать в виде
где параметры удовлетворяют соотношению аб-Ру=1. Из условия унитарности
UU+ = 1 следует, что | det U | = 1. В формуле (18.31) матрица U
представлена в виде произведения фазового множителя на матрицу с
определителем + 1. Из условия унитарности мы получаем соотношения аа* +
РР* = 1, уу* 66*= 1, ау*+рб*=0, ya*-f бр*=0. Последние два из них можно
рассматривать как два действительных уравнения или одно комплексное.
Сопо-стээдяя эти уравнения с условием аб-Ру=1, находим,
(18.31)
Унитарная группа Uдг
283
что 6 = а*, у -- р*, т. е.
( 06 Р А
и=ехр(ЭД( _р, a,J,
где осталось одно условие оса*-f-p|J* = 1.
Множество матриц U с ср = 0 и, значит, с определителем + 1 образует
