Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
подгруппу группы U2, которая называется "унимодулярной" или "специальной
унитарной" группой и обозначается символом SU2. В самом деле, мы можем
представить группу f/2= U1xSU2 в виде произведения группы SU2 на абелеву
однопараметрическую группу U1, преобразования которой состоят в
добавлении фазового множителя ехр (iср). Очевидно, что она изоморфна
группе У12. Поэтому достаточно исследовать лишь группу SU2, которая имеет
только три параметра. Впредь мы будем рассматривать лишь группу SU2 с
элементами
при аа* -f- (5)3* = 1. Вместо двух комплексных чисел а, |3,
удовлетворяющих одному действительному условию, мы введем три удобных
действительных параметра. Используемые нами обозначения могут показаться
довольно странными, но уэни выбраны так для того, чтобы упростить связь
между группами SU2 и М3, о которой говорится в п. В. Без потери общности
мы можем записать параметры в виде
a=cosya- ikzs'm-^a, (3 =- (ky + ikx) sin-^-a, (18.33)
где k = (kx, ky, kz)-некоторый единичный вектор и О ^ а ^ 2л (задача
18.8). Три действительных параметра - это параметр а и два угла,
необходимые для фиксации единичного вектора к. Для дальнейшего упрощения
мы введем параметры ах = akx, аи = aky и az = akz. Тогда матрица U будет
определяться тремя действительными
параметрами aq, которые изменяются в области 2 a2q ^ 4it2,
т. е. вектор а = (ах, ау, аг) лежит внутри шара радиусом 2я.
(18.32)
284
Глава 18
Б. Инфинитезимальные операторы и неприводимые представления группы SU2
Для нахождения инфинитезимальных операторов, соответствующих трем
параметрам аа, мы должны рассмотреть матрицы U, близкие к единичной, т.
е. матрицы, отвечающие малым параметрам а. Тогда а=1-1/2 iakz -
= 1-1 /2^г и Р =-1 / -'/гШ.с и мы получаем
U-1--J,)-
т. е. три инфинитезимальных оператора просто совпадают с матрицами - isq
[в обозначениях формулы (8.15)], где sq - знакомые нам спиновые матрицы
при s =1 /2.
Отсюда мы заключаем, что перестановочные соотношения для
инфинитезимальных операторов группы SU2 совпадают с перестановочными
соотношениями для инфинитезимальных операторов группы 5?3, так как
спиновые матрицы-это инфинитезимальные операторы группы 523 в
представлении В гл. 7, § 4 мы на основании
этих перестановочных соотношений получили неприводимые представления
группы Э13. Следовательно, неприводимые представления группы SU2 будут
совпадать с неприводимыми представлениями группы 5i3. Но в п. В мы
увидим, что полуцелые представления, которые были двузначными
представлениями группы 5?3, будут однозначными представлениями группы
SU2. В самом деле, представление D*1/*)-это тождественное представление с
помощью самих элементов группы, т. е. 2 х 2-матриц
(18.32).
В. Связь между группами 5?3 и SU2
Тот факт, что инфинитезимальные операторы двух групп, таких, как группы
5i3 и SU2, имеют одинаковые перестановочные соотношения, т. е. что две
группы имеют одинаковые структурные константы (гл. 7, § 2), еще не
означает, что эти группы обязательно изоморфны (т. е. что между
элементами групп существует взаимно-однозначное соответствие). Чтобы
выяснить этот вопрос, нужно помимо инфинитезимальных операторов
рассмотреть сами элементы группы, отвечающие конечным значениям
параметров.
Унитарная руппа Ц#
285
Рассмотрим сначала группу 5?3. Согласно сказанному в гл. 7, § 3 и
равенству (7.6), конечное преобразование поворота вокруг оси 2 связано с
инфинитезимальным оператором экспоненциальным отображением R^(а) = = ехр
(аХ2). Форма этого соотношения не зависит от оси г. Поэтому вращение Rt
(а) вокруг произвольной оси к можно также записать в виде
где мы ввели вектор-оператор Х=(ХА, Ху, Хг) и в обозначениях формулы
(7.22) параметры а9 = акц, a kq- это компоненты вектора к. Перескакивая
здесь от группы 5?2 к группе 5?3, мы говорим лишь, что произвольное
вращение является элементомоднопараметрической подгруппы вращений вокруг
оси к. Следовательно, оно порождается соответствующим оператором ^ ацХц
точно так
же, как вращение вокруг оси г порождалось оператором aXz в гл. 7, § 2.
Операторное выражение (18.34) справедливо в любом представлении. В
двумерном представлении D'1^) оно дает очень простой способ точного
вычисления матриц конечных поворотов D<1/г)(аА, ау, а2) на основании уже
вычисленных матриц (8.15) для инфинитезимальных операторов. Вспоминая
соотношение Xq = - ilq между инфи-нитезимальными операторами Х" и
операторами углового момента Je, мы из формул (8.15) имеем
Отсюда видно, что X| = -V4 и Х^Хв + ХуХр = 0 при рФц. Значит, скалярное
произведение в экспоненте выражения (18.34) обладает свойством
я
(18.35)
(к • X)* = X WA=- т =- Т
с учетом нормировки вектора к. Поэтому матрица вра-
286
Глава 16
щения в представлении с / = 72 такова:
D(1/j)(k, а) = ехр (ак • X) =
= 1+ а (к• Х)+| а(r) (к • Х)2+| а3 (к • Х)3+^ а* (к • Х)4+ • • • =
= |l_l(flV4)+l(aVl6) + ...|+(k.X){a-i(a3/4)+...} =
= cos^-a + 2(k-X)sin-|-a. (18.36)
Подставляя матрицы (18.35) для операторов Xq, это выражение преобразуем к
