Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
состояние системы во времени, то его описывает и функция ф(г, t).
Физическую взаимосвязь между функциями ф (г, t) и ф(г, I) можно выяснить,
сравнивая средние значения операторов наподобие г и р в двух состояниях.
Учитывая определение (5.6) скалярного произведения, имеем
<ф(г, 1)|х|ф(г, t)y = <ф(г, - 1)|х|ф(г, - Ф,
<ф(г, 01р*1ф(г' *)> = - <Ф(г, -*)|р,|ф(г, - ф.
Но, согласно классической механике, при замене x(t) на x(-t) и px(t) на -
рх(-t) мы получим обращенную траекторию движения всех частиц. Например,
частица, подброшенная вверх при f=0 и достигающая наивысшей точки А в
момент t=1, должна быть заменена частицей, начинающей падать из точки А в
момент t=-1 и достигающей земли при if=0. Поэтому мы рассматриваем
переход от ф(г, t) к ф(г, t) как обращение времени и вводим оператор Т,
определяемый как ф(г, ?)=Тф(г, ?)=ф*(г, -t). В т. 2, гл. 15, § 7, п. Г
будет введен более общий оператор, обращающий также и направление спина.
В случае стационарного состояния (5.3) _ операция обращения не изменяет
множитель ехр(-iEt/fi), так что состояния фиф* имеют одинаковую энергию;
этот же результат следует и из уравнения на собственные значения [формула
(5.4)]. Следовательно, если ф - комплексная функция, то функции фиф*
независимы и имеет место двукратное вырождение. Здесь мы имеем еще один
пример вырождения вследствие симметрии гамильтониана, в данном случае
симметрии в отношении обращения времени.
146
Глй*й В
Поскольку последовательное применение |двух операций обращения времени не
изменяет физической ситуации, мы имеем дело с группой, изоморфной группе
St, и на этом основании могли бы ожидать следствий, аналогичных
рассмотренным в § 6 для группы St; но это неверно. Дело в том, что
оператор Г, который осуществляет обращение времени, не является ни
линейным, ни унитарным. Поэтому здесь мы не вправе пользоваться теорией
представлений, изложенной в гл. 4. Этот вопрос мы отложим до второго тома
(гл. 15, § 7, п. Г), где будет показано, что "четным" относительно
обращения времени может быть сделан оператор, но не волновая функция.
Приводит или нет к увеличению вырожденности включение операции обращения
времени в данную группу симметрии системы, это зависит от группы. Мы
кратко остановимся еще на данном вопросе в гл. 9, § 8 и в т. 2, гл. 15,
§7, п. Г. В заключение отметим, что найти гамильтониан, не имеющий
симметрии обращения времени, нетрудно. Например, введенный в § 1 оператор
L взаимодействия с магнитным полем является нечетным, а оператор
кинетической энергии - четным.
ЛИТЕРАТУРА
По нерелятивистской квантовой механике так много книг, что выбор
затруднителен, но в качестве очень простого введения рекомендуем
Mathews Р. Т., Introduction to Quantum Mechanics, McGraw-Hill, London,
1963,
а как руководства более серьезного уровня рекомендуем учебники Landau L.
D., Lifschiz Е, М., Quantum Mechanics, Pergamon, London, 1958.
Hi, [См. также: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика.- М.:
Наука, 1963.]
Messiah A., Quantum Mechanics, North-Holland,| Amsterdam, 1961.
ЗАДАЧИ
В этой главе мы даем лить несколько задач, поскольку все вве денные в ней
понятия снова встретятся в следующих главах в приложении к различным
физическим системам.
5.1. Покажите, что группа С3 есть группа симметрии потенциала P----COS 0
sin3 0 cos Зф, а группа Ds - потенциала E=sin3 0х Xcos Зф. Обладают ли
эти потенциалы дополнительной симметрией отражения или инверсии?
Симметрия в квантовой механике
147
5.2. В соответствии с изложенным в § 3 собственные состояния
гамильтониана с симметрией ?>4 можно классифицировать по неприводимым
представлениям этой группы, найденным в гл. 4, § 10. Имеется ли у этих
состояний вырожденность и какова она? Выведите правила отбора для
дипольных переходов в этой системе.
5.3. Покажите, что в случае частицы, движущейся в поле с потенциалом
симметрии Сз, оператор cos (2л?г/3) соответствует сохраняющейся величине.
5.4. Рассмотрим частицу, движущуюся по окружности (так что существенна
только одна координата ф), под действием потенциала V (ф) с симметрией
С3. Взяв собственную функцию в
виде ряда Фурье ф(ф) = ^я"ехр (i/гф), покажите, что эту сум-п
му можно ограничить лишь целыми п=т~\-''к, где т фиксировано (т=0, 1 или
2), а к пробегает все целые числа.
5.5. Функции хе~>'2, уе~г2 и ze-r2 являются собственными функциями для
частицы, движущейся в поле с потенциалом сферичес-ки-симметричпого
гармонического осциллятора. Эти три состояния очевидно вырождены. Как
будет сниматься это трехкратное вырождение при включении возмущающего
потенциала симметрии D3? (Найдите характер трехмерного представления
группы D3 и приведите его.)
Детально следствия сферической симметрии будут разобраны в. гл. 7 и 8, а
конечные точечные группы симметрии рассматриваются в гл. 9.
6
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В данной главе мы приступаем к применению теории симметрии при
исследовании физических систем. Речь пойдет о колебаниях атомов,
