Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
преобразовываться подобно тождественному представлению, т. е. оно должно
быть инвариантным относительно всех операций группы. Можно, например,
строго показать, что основное состояние частицы, движущейся в поле со
сферически-симметричным потенциалом F(r), само является сферически-
симметричным, т. е. 1=0. Поэтому при аппроксимировании основного
состояния следует брать только сферически-симметрич-ные пробные функции.
Чтобы найти первое возбужденное состояние, нужно сконструировать пробную
функцию, преобразующуюся в соответствии с некоторым другим
представлением, и обычно это представление имеет в не-
Рлавй $
котором смысле наивысшую из оставшихся возможными симметрий. Например, в
случае потенциала гармонического осциллятора первое возбужденное
состояние соответствует значению 1=1. Нам встретятся и другие случаи
возбужденных состояний с максимальной симметрией (см., например, спектр
атома водорода в гл. 8, § 5).
При вариационном методе в качестве пробной функции часто пользуются
линейной комбинацией п определенных функций ф; с коэффициентами ct в
качестве варьируемых параметров
(5.20)
В такой форме вариационный метод иногда называют методом Релея - Ритца,
он эквивалентен диагонализации гамильтониана в конечном n-мерном
пространстве выбранных функций фг. Если выбрать функции фг ортонормиро-
ванными, то уравнение Шредингера Ht|j=?t|j сводится к матричному
уравнению. В самом деле, из уравнения Нф= =?ф с учетом выражения (5.20)
имеем
2 ^Нф/ = ^ 2 с/Ф/>
i i
т. е.
2МФ/. Нфi) = Ecj.
i
Обозначая матричный элемент (ф^ Нфг) через HtJ, получаем
2(#/(-Я6":)с, = 0, (5.21)
i
т. е. энергия Е и коэффициенты ct выступают как собственные значения и
компоненты собственных векторов матрицы Нц. Правда, из этого не следует,
что точные собственные значения уравнения Шредингера могут быть получены
из конечной матрицы пХп. Она дает лишь приближение к Е (верхнюю границу)
и будет точной только в том случае, если точную волновую функцию ф можно
разложить в конечный ряд (5.20). В общем случае это невозможно, если
только п не возрастает до бесконечности, что делает набор функций фг
полным, но тогда становится бесконечной и матрица, которую надо
диагонализовать.
Симметрия в квантовой механике
139
Если функции фг не ортонормированы и их скалярное произведение обозначено
через ?^ = (ф;', фг), то формула
(5.21) принимает вид
Z(HJl-ESji)ci = 0, (5-22)
i
и тогда энергия находится из детерминантного уравнения
|Н - ?S| = 0. (5.23)
В методе Релея - Ритца условие симметрии можно использовать двояко. Во-
первых, в сумму (5.20) следует включать лишь такие базисные функции фг,
которые преобразуются по одному и тому же неприводимому представлению
Тю>. Если размерность представления больше единицы, что обычно бывает при
описании возбужденных состояний, то в сумме (5.20) можно ограничиться
функциями, которые преобразуются по некоторой строке представления Т(а).
Это ясно из формулы (4.63), которая показывает, что инвариантный
оператор, например гамильтониан, имеет нулевые матричные элементы между
функциями, преобразующимися по разным строкам представления. Кроме того,
формула (4.63) показывает, что матричные элементы не зависят от индекса
строки. Отсюда следует, что матрица Н, определенная в базисе функций,
преобразующихся по строке i неприводимого представления Т<а), будет в
точности такой же, как и матрица Н в соответствующем базисе, где все
функции преобразуются по какой-либо другой строке этого представления.
Таким образом, необходимо лишь записать и диагонализовать матрицу для
одного выбранного i. В том, что любой другой выбор / приводит к той же
матрице и потому к тем же собственным значениям, всего лишь находит
выражение факт ^-кратного вырождения, где sa - размерность представления
у<а>
В следующем параграфе мы рассмотрим пример использования симметрии в
методе Релея - Ритца (т. е. в матричном методе).
§ 8. НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ ПРИ ВОЗМУЩЕНИИ
Во многих физических задачах гамильтониан рассматриваемой системы состоит
из основной части и малой добавки (или нескольких малых добавок). Напишем
Н = н0 + н1, (5.24)
140
Глава 5
где Нх - малая добавка. Часто оказывается, что оператор Н0 намного проще
оператора Нх, и можно найти приближенное решение, рассматривая Нх как
возмущение точного решения Н0. В принципе возмущение следует
рассматривать как степенной ряд по Нх, но мы здесь ограничимся поправками
первого порядка, так как нас больше всего интересует влияние симметрии.
Для невырожденного уровня Ей напишем уравнение Шредингера невозмущенной
системы в виде Н0фЛд=Е?л|)г,. Тогда, если считать фй пробной функцией для
Н, среднее значение энергии будет равно (ф^, Нтфfe) = -f-(тр^, Н^Д.
Это означает, что поправка первого порядка к невозмущенному значению
энергии Ек равна AE=(4>fe, H^ft).
Если энергетический уровень Еп вырожден и ему соответствует набор
независимых волновых функций фпг, таких, что то, чтобы найти поправку
пер-
