Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
D<m> = D(1> 0 D(1) 0 D(0) 0 D(0),
D<ioo> = D(1 > 0 D(0) 0 D'o) 0 D(1>.
В качестве примера можно привести состояния
(12.3)
У = 5 = 1, Мт = М5 = 1> = рЦ1) рЦ2), Т = 1, 5 = 0, Mr = 1, М5 = 0> =
= {pt (1) pi (2)-pt (2) Pl (1 )}/У2, (12.4)
\T = \, 5 = 0, MT = Ms = 0> = {pi(t)ni (2)-рЦ2)п* (i) -
- (l)wt (2)+Р1(2)пЦ1)}1]/~2.
В случае трех частиц мы выполним такую же процедуру, используя теперь,
как в гл. 8, § 6, п. Г, некоторые простейшие свойства группы of 3. Всего
мы имеем теперь 43=64 состояния, которые порождают векторное пространство
L, разлагающееся в сумму L--L&-\-L"H-\-L,r% |+" соответственно трем
неприводимым представлениям Т(,),
346
Рлава It
T(m> и T(e> группы if Поскольку представление T(m) двумерно, имеются два
подпространства Ьт, и Lmi, преобразующиеся по отношению к перестановкам
как первая и вторая строка матрицы Tlm). Такое разбиение пространства L
служит примером применения формулы (4.52), в которую входят проекционные
операторы. Перестановочная симметрия операторов группы SUt снова
предотвращает смешивание четырех вышеуказанных подпространств
пространства L при действии на нем этой группы. Таким образом, в каждом
из этих подпространств определено представление группы SUt. Эти
представления также являются неприводимыми. Однако представления,
действующие в Lmi и Ьтг, эквивалентны, так как операторы перестановки,
коммутирующие с действием группы SU4, переводят эти подпространства друг
в друга. Чтобы описать сужение этих представлений на подгруппу SUfx XSUl,
мы начнем с утверждения (гл. 8, § 6, п. Г) о том, что состояния трех
частиц со спином х/2, имеющие полный спин S=3/2, полностью симметричны, а
состояния с 5,=1/2 имеют смешанный тин симметрии Т(/я). Воспользовавшись
аналогичным утверждением для изоспина, а также известным разложением на
неприводимые представления произведения представлений группы а (гл. 8, §
6, п. Г)
получаем, что по отношению к одновременным перестановкам спиновых и
изоспиновых переменных состояния группируются так:
То*> (r) Т(*> = т<*> 0 т<*> 0 Т<">,
(12.5)
Супермулътиплеты в ядрах и суперм. элементарных частиц 347
Размерность этих трех представлений равна 20, 20 и 4. Учитывая удвоение
представления, действующего в пространстве Lm, имеем 20+2x20+4=64 -
размерность пространства L. Описанные нами представления - это DC/. 7.
*/.), ос/. */. •/.) и DC/. V. -'/г). Формула (12.1) принимает в данном
случае вид
D<7* V* V.) = DC/.) 0 DC/.) 0 DC/.) 0 DC/.),
DC/. 7. 7.) = DC/.) 0 DC/.) 0 DC/.) 0 DC/.) 0 DC/.) 0 DC/.),
(12.6)
D<'/. 7. -7.)==DC/.)0D(7.>.
Вернемся теперь к атомному ядру. Если бы сильное взаимодействие было
спиново- и изоспиново-инварианг-ным, то группа SUt была бы группой
симметрии. В этой ситуации мы должны ожидать наличия сильного вырождения,
соответствующего размерности d неприводимого представления D<pp'p">
группы SUt. Экспериментально такое вырождение не наблюдается; это не так
уж неожиданно, если учесть, что ядерные силы, как известно, существенно
зависят от спина. Тем не менее S//4-симметрия нарушается не полностью.
Ярче всего она проявляется при p-распаде самых легких ядер. Оператор,
ответственный за этот распад, пропорционален Yw, . Систематика ядерных
энергий связи также согласуется с S [/^симметрией [2].
Заметим, наконец, что состояния (12.5) с различной перестановочной
симметрией должны таким образом комбинироваться с волновыми функциями
пространственных координат, чтобы в соответствии с принципом Паули полные
волновые функции были антисимметричны. Так, представление D(7.7.-7.)
должно соответствовать симметричным волновым функциям пространственных
координат. Это приводит к правилу Хунда для ядер, согласно которому
низшим энергиям соответствуют супермулътиплеты с меньшими значениями
(РР'Р"). Доказательство проводится так же, как в гл. 8, § 6, п. Д (для
атомов) и в гл. 10, § 1, п. А (для изоспина).
348
Глава 12
§ 2. СУПЕРМУЛЬТИПЛЕТЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
В § 1 мы показали, как различные комбинации значений S и Т объединяются в
рамках неприводимого представления группы SUi. Напомним также (гл. И, §
7), что октет барионов имеет спин 5=1/2, а декуплет - спин 5=3/2.
Естественно было бы попытаться расширить произведение групп симметрии
SU2xSUs до группы SUe с тем, чтобы получить вышеупомянутую связь между
спином S бариона и S773-мультиплетом (^ц), членом которого он является, в
рамках неприводимого представления группы SUa. Нам нет нужды подробно
останавливаться здесь на свойствах группы SUe, так как все необходимое
для паших целей мы можем получить, используя метод § 1. (Напомним, что
общий случай "группы SUN рассматривается в гл. 18.)
Определим шестимерное пространство, в котором действует группа SUe, как
тензорное произведение трехмерного пространства представления D(10)
группы SU3 на пространство представления DC/j) спиновой группы. Ясно, что
в этом пространстве определено представление D('/j)xDU0) прямого
произведения групп SU2xSU3. То, что спин барионов из табл. 11.1 достигает
